Střední hodnota je nejznámější míra polohy ve statistice. Často se nazývá očekávaná hodnota (odtud značka E = Expected, anglicky očekávaný) nebo populační průměr.

Střední hodnota náhodné veličiny Xdisplaystyle X se značí E⁡Xdisplaystyle operatorname E X, E⁡(X)displaystyle operatorname E (X) nebo také ⟨X⟩displaystyle langle Xrangle .

Definice |

Střední hodnota náhodné veličiny je funkcionál jejího rozdělení, jenž je obecně definován jako následující Lebesgueův integrál (který lze chápat jako jakýsi „vážený průměr“ veličin z daného rozdělení, jejichž váhou je pravděpodobnost výskytu):

E⁡X=∫RxdP(x)displaystyle operatorname E X=int _Rxmathrm d P(x),

kde Pdisplaystyle P je pravděpodobnostní míra určující rozdělení náhodné veličiny Xdisplaystyle X. Pokud výraz na pravé straně nekonverguje absolutně, pak říkáme, že střední hodnota neexistuje.

Speciálně:

• Má-li náhodná veličina Xdisplaystyle X spojité rozdělení s hustotou rozdělení f(x)displaystyle f(x), pak

E⁡X=∫Rxf(x)dxdisplaystyle operatorname E X=int _Rxf(x)mathrm d x.

• Má-li náhodná veličina Xdisplaystyle X diskrétní rozdělení kde P[X=si]=pidisplaystyle P[X=s_i]=p_i pro i∈Idisplaystyle iin I nejvýše spočetnou množinu různých výsledků, pak

E⁡X=∑Isipidisplaystyle operatorname E X=sum _Is_ip_i

Vlastnosti |

Střední hodnota konstanty cdisplaystyle c je

E⁡(c)=cdisplaystyle operatorname E (c)=c

Pro střední hodnotu součinu náhodné veličiny Xdisplaystyle X a konstanty cdisplaystyle c platí

E⁡(cX)=cE⁡(X)displaystyle operatorname E (cX)=coperatorname E (X)

Střední hodnota součtu dvou náhodných veličin X,Ydisplaystyle X,Y je rovna součtu středních hodnot těchto veličin, tedy

E⁡(X+Y)=E⁡(X)+E⁡(Y)displaystyle operatorname E (X+Y)=operatorname E (X)+operatorname E (Y)

Tento vztah lze samozřejmě zobecnit na součet libovolného počtu náhodných veličin.

Pro nezávislé náhodné veličiny X,Ydisplaystyle X,Y je střední hodnota součinu těchto veličin rovna součinu jejich středních hodnot, tzn.

E⁡(XY)=E⁡(X)E⁡(Y)displaystyle operatorname E (XY)=operatorname E (X)operatorname E (Y)

Tento vztah je možné zobecnit pro součin libovolného počtu vzájemně nezávislých náhodných veličin.

Podmíněná střední hodnota:

• E⁡(aX∣Y)=adisplaystyle operatorname E (aXmid Y)=a

• E⁡(aX+bY∣Z)=aE⁡(X∣Z)+bE⁡(Y∣Z)displaystyle operatorname E (aX+bYmid Z)=aoperatorname E (Xmid Z)+boperatorname E (Ymid Z)

• E⁡[E⁡(X∣Y)]=E⁡(X)displaystyle operatorname E [operatorname E (Xmid Y)]=operatorname E (X)


• E⁡(ψ(Z)U∣Z)=ψ(Z)E⁡(U∣Z)displaystyle operatorname E (psi (Z)Umid Z)=psi (Z)operatorname E (Umid Z)

kde a,b∈Rdisplaystyle a,bin R a X,Y,Zdisplaystyle X,Y,Z jsou náhodné vektory

Příklady |

Diskrétní náhodná veličina |

Mějme náhodnou veličinu, která s pravděpodobností 0,3 nabývá hodnoty 1, s pravděpodobností 0,2 nabývá hodnoty 2 a s pravděpodobností 0,5 nabývá hodnoty 3.

Střední hodnota je pak (0,3 × 1) + (0,2 × 2) + (0,5 × 3) = 2,2.

Spojitá náhodná veličina |

Mějme náhodnou veličinu, jejíž hustota pravděpodobnosti na intervalu <0,1> je f(x) = 2x , jinde identicky rovna nule. To je rozdělení, v němž je hustota pravděpodobnosti přímo úměrná hodnotě x.

Potom střední hodnotu lze z definice spočítat pomocí integrálu

E⁡X=∫Rxf(x)dx=∫01x⋅2xdx=∫012x2dx=[23x3]01=2313−2303=23displaystyle operatorname E X=int _Rxf(x),mathrm d x=int _0^1xcdot 2x,mathrm d x=int _0^12x^2,mathrm d x=left[frac 23x^3right]_0^1=frac 231^3-frac 230^3=frac 23.

Střední hodnota uvedené náhodné veličiny tedy je ²⁄₃.

Související články |

• Medián


• Rozptyl (statistika)


• Charakteristika náhodné veličiny

Tento článek je příliš stručný nebo postrádá důležité informace. Pomozte Wikipedii tím, že jej vhodně rozšíříte. Nevkládejte však bez oprávnění cizí texty.