Математи́чне сподіва́ння, середнє значення — одна з основних числових характеристик кожної випадкової величини. Воно є узагальненим поняттям середнього значення сукупності чисел на той випадок, коли елементи множини значень цієї сукупності мають різну "вагу", ціну, важливість, пріоритет, що є характерним для значень випадкової змінної. ^[1]

Оскільки, випадкова величина може бути дискретною або задана густиною розподілу ймовірностей, тому теорія ймовірностей наводить два означення математичного сподівання.

Означення 1 |

Нехай дискретна випадкова змінна Xdisplaystyle X може набувати значення x1,x2,…,displaystyle x_1,x_2,ldots , відповідно з ймовірностями p(x1),p(x2),…,displaystyle p(x_1),p(x_2),ldots , причому
∑xp(x)=1displaystyle sum _xp(x)=1,.

• 
  Означення Чебишова: Математичним сподіванням будь-якої величини називається сума всіх можливих для неї значень, помножених на їхні ймовірності: ^[2]

μ≡E⁡(X)=∑xxp(x)displaystyle mu ,equiv operatorname E (X)=sum _xx,p(x),

де

μdisplaystyle mu , — це середнє значення випадкової величини Xdisplaystyle X, областю можливих значень якої є множина X=xdisplaystyle leftX=xright;

Edisplaystyle operatorname E — оператор математичного сподівання;

E⁡(X)displaystyle operatorname E (X) — математичне сподівання величини Xdisplaystyle X.

Твердження |

• Оскільки всі ймовірності pidisplaystyle p_i додані разом дорівнюють 1 (p1+p2+…+pk=1displaystyle p_1+p_2+ldots +p_k=1), математичне сподівання є середнім зваженим, де pidisplaystyle p_i є ваговими коефіцієнтами. ^[3]

μ=E⁡(X)=∑xxp(x)∑xp(x).displaystyle mu =operatorname E (X)=frac sum _xxp(x)sum _xp(x).

Якщо всі події xidisplaystyle x_i є рівноймовірними^[en] (так що, p1=p2=…=pkdisplaystyle p_1=p_2=ldots =p_k), тоді зважене середнє перетворюється у просте середнє арифметичне. Інтуїтивно це можливо зрозуміти наступним чином: очікуване значення випадкової величини є середнім по всім значенням, які вона може прийняти; таким чином сподіванням є таким значенням, що очікують трапиться в середньому. Якщо події xidisplaystyle x_i трапляються не з однаковими ймовірностями, тоді просте середнє необхідно замінити зваженим середнім, що дозволяє врахувати, що деякі події трапляються частіше ніж інші. Інтуїтивне розуміння тим не менш залишається тим самим: математичним сподіванням випадкової величини Xdisplaystyle X є те значення, яке повинне трапитися в середньому.

Ілюстрація збіжності середнього для послідовності кидання гральної кістки до сподівання 3.5 при постійному збільшенні кількості спроб.

Приклади |

• Нехай Xdisplaystyle X задає множину подій при підкиданні гральної кістки із шістьма сторонами. Результатом буде кількість точок на верхній грані після підкидання гральної кістки. Можливими значеннями, які прийматиме Xdisplaystyle X є 1, 2, 3, 4, 5, і 6, всі є рівноймовірними (кожне значення має ймовірність ¹⁄₆). Математичним сподіванням для Xdisplaystyle X буде

E⁡[X]=1⋅16+2⋅16+3⋅16+4⋅16+5⋅16+6⋅16=3.5.displaystyle operatorname E [X]=1cdot frac 16+2cdot frac 16+3cdot frac 16+4cdot frac 16+5cdot frac 16+6cdot frac 16=3.5.

Якщо підкинути гральну кістку ndisplaystyle n разів і розрахувати середнє (середнє арифметичне) всіх результатів, із збільшенням ndisplaystyle n, середнє буде майже певне збігатися до значення сподівання. Цей факт відомий як закон великих чисел. Одним із прикладів послідовності десяти випадань гральної кістки є 2, 3, 1, 2, 5, 6, 2, 2, 2, 6, для якого середнє буде дорівнювати 3.1, що відрізняється від математичного сподівання 3.5 на число 0.4. Зближення є відносно повільним: ймовірність що середнє знаходитиметься в межах 3.5 ± 0.1 дорівнює 21.6% для десяти спроб, 46.1% для сотні спроб і 93.7% для тисячі спроб. Див. графік на якому показані середні для довших послідовностей кидання гральної кістки на якому видно як вони збігаються до математичного сподівання із значенням в 3.5. У загальному випадку, швидкість зближення можна приблизно розрахувати за допомогою, наприклад, нерівності Чебишова і теореми Беррі-Ессіна^[en].

• При грі в рулетку невелика кулька може потрапити в одну із 38 пронумерованих секцій колеса, що розміщені по колу. Коли колесо розкручують кулька ударяється і рухається випадковим чином доки не зупиниться в одному з секторів. Нехай випадкова величина Xdisplaystyle X задає (грошовий) виграш при ставці в $1 на одне число ("пряма" ставка). Якщо ставка виграє (що трапиться із ймовірністю ¹⁄₃₈), виграш становитиме $35; в іншому випадку гравець втрачає ставку. Очікуваним прибутком від такої ставки буде

E⁡[gain from $1 bet]=−$1⋅3738+$35⋅138=−$0.0526.displaystyle operatorname E [,textgain from $1text bet,]=-$1cdot frac 3738+$35cdot frac 138=-$0.0526.

Тобто, ставка в $1 коштуватиме втраті $0.0526, точніше її сподіванням є -$0.0526.

Означення 2 |

Нехай випадкова змінна ξdisplaystyle xi задана густиною розподілу ймовірностей : pξ(x)displaystyle p_xi (x),, (xmin<x<xmax)displaystyle (x_min<x<x_max).

• Математичним сподіванням такої числової змінної ξdisplaystyle xi , якщо воно існує, називають інтеграл, узятий по області існування її густини розподілу, від добутку цієї випадкової змінної на її густину розподілу, тобто:

μ≡E⁡(ξ)=∫Xxpξ(x)dxdisplaystyle mu equiv ,operatorname E (xi )=int _Xxp_xi (x)dx.

Сподівання існує, якщо цей інтеграл абсолютно збіжний.

Ймовірність середнього значення |

• Ймовірність середнього значення дорівнює ймовірності випадкової величини в сукупності значень якої визначається це середнє значення, тобто ^[3][4]

P(μ)=P(X)displaystyle P(mu ,)=P(X)

Деякі формули для обчислення математичного сподівання |

Абстрактний інтеграл, що фігурує в означенні математичного сподівання, можна замінити відповідним інтегралом Лебега-Стілтьєса. Розглянемо випадок композиції борелівської функції fdisplaystyle f та випадкової величини ξdisplaystyle xi  :

E⁡(f∘ξ)=∫Xf(x)dFξ(x)displaystyle operatorname E (fcirc xi )=int _Xf(x)dF_xi (x),

де Fξ(x)displaystyle F_xi (x) — функція розподілу випадкової величини ξdisplaystyle xi .

Від цієї залежності приходимо до такої формули:

E⁡(ξ)=∫XxdFξ(x)displaystyle operatorname E (xi )=int _XxdF_xi (x)

Деякі властивості математичного сподівання |

1. Якщо ξdisplaystyle displaystyle xi та ηdisplaystyle displaystyle eta  — незалежні інтегровні випадкові величини, то E⁡(ξ⋅η)=E⁡(ξ)⋅E⁡(η)displaystyle displaystyle operatorname E (xi cdot eta )=operatorname E (xi )cdot operatorname E (eta ).


2. Якщо ξdisplaystyle displaystyle xi та ηdisplaystyle displaystyle eta  — інтегровні випадкові величини, то E⁡(ξ+η)=E⁡(ξ)+E⁡(η)displaystyle displaystyle operatorname E (xi +eta )=operatorname E (xi )+operatorname E (eta ).


3. Якщо ξdisplaystyle displaystyle xi  — інтегровна випадкова величина, C∈Rdisplaystyle Cin mathbb R то E⁡(Cξ)=C⋅E⁡(ξ)displaystyle operatorname E (Cxi )=Ccdot operatorname E (xi ).

Приклад випадкової величини, що не має математичного сподівання |

Нехай випадкова величина ξdisplaystyle displaystyle xi розподілена за законом Коші з параметрами adisplaystyle displaystyle a та bdisplaystyle displaystyle b , тобто L(ξ)=K(a,b)displaystyle mathcal L(xi )=K(a,b). Ця випадкова величина має щільність:

pξ(x)=bπ((x−a)2+b2)displaystyle p_xi (x)=frac bpi ((x-a)^2+b^2).

Знайдемо її математичне сподівання.

E⁡(ξ)=∫ΩξdP=∫Xxpξ(x)dx=∫Xbxπ((x−a)2+b2)=displaystyle operatorname E (xi )=int _Omega xi dP=int _Xxp_xi (x)dx=int _Xfrac bxpi ((x-a)^2+b^2)=

=b∫Xx−a+aπ((x−a)2+b2)=b2πln⁡((x−a)2+b2)+aarctan⁡x−ab|xminxmaxdisplaystyle =bint _Xfrac x-a+api ((x-a)^2+b^2)=frac b2pi ln((x-a)^2+b^2)+aarctan frac x-ab_x_min^x_max.

Наявність логарифма в останньому виразі робить неможливим обчислення цього інтегралу (внаслідок необмеженості логарифма при необмеженому аргументі), що і доводить неінтегровність випадкової величини ξdisplaystyle displaystyle xi .

Джерела інформації |

Див. також |

• Ковзаюче середнє


• Дисперсія випадкової величини


• Нормальний розподіл


• Центральний момент

Література |

• 
  Гихман И.И., Скороход А.В., Ядренко М.И. Теория вероятностей и математическая статистика. — К.: «Выща школа», 1988. — 438 c.