När antalet försök växer konvergerar medelvärdet mot väntevärdet. Röd kurva: medelvärdet som funktion av antalet tärningskast. Streckad linje: väntevärdet 3,5

Väntevärde är inom matematisk statistik en egenskap hos en stokastisk variabel X och dess sannolikhetsfördelning. Det kan tolkas som medelvärdet för ett försöks utfall om försöket utförs ett oändligt antal gånger.

En approximation av väntevärdet kan fås genom någon form av punktskattning, till exempel stickprovsmedelvärdet av ett antal stickprov.

Slumpen medför att stickprovsmedelvärdet troligen inte överensstämmer med den studerade processens väntevärde. Väntevärdesriktigheten hos punktskattningen ger emellertid att medelvärdet av ett antal stickprovsmedelvärden närmar sig väntevärdet med ökande antal stickprov.

Väntevärdet är ett exempel på ett lägesmått för en sannolikhetsfördelning.

Definition |

Väntevärdet μ för en diskret stokastisk variabel X definieras som

μ=E(X)=∑xxP(x)displaystyle mu =E(X)=sum _x^x,P(x)

där P(x) är sannolikheten för utfallet x för den stokastiska variabeln X och summeringen görs över alla x i utfallsrummet. Observera att väntevärdet inte behöver existera i utfallsrummet. Väntevärdet vid ett tärningskast är till exempel

E⁡[X]=1⋅16+2⋅16+3⋅16+4⋅16+5⋅16+6⋅16=3,5displaystyle operatorname E [X]=1cdot frac 16+2cdot frac 16+3cdot frac 16+4cdot frac 16+5cdot frac 16+6cdot frac 16=3,5

men det är inte möjligt att slå 3,5 med en tärning.

För en kontinuerlig stokastisk variabel X, definieras väntevärdet som

μ=E(X)=∫−∞∞xf(x)dxdisplaystyle mu =E(X)=int _-infty ^infty xf(x),dx

där f(x)displaystyle f(x) är fördelningens täthetsfunktion (frekvensfunktion). Detta är samma värde som x-koordinaten för tyngdpunkten av arean under täthetsfunktionen f(x)displaystyle f(x).

Egenskaper |

Linjäritet |

Operatorn E är en linjär operator.

Om Y är en linjärkombination av stokastiska variabler

Y=∑i=1naiXi+bdisplaystyle Y=sum _i=1^na_iX_i+b

kan väntevärdet av Y beräknas enligt

E⁡(Y)=∑i=1naiE⁡(Xi)+bdisplaystyle operatorname E (Y)=sum _i=1^na_ioperatorname E (X_i)+b

Icke-multiplikativitet |

Generellt gäller inte att E⁡(XY)displaystyle operatorname E (XY) är ekvivalent med E⁡(X)E⁡(Y)displaystyle operatorname E (X)operatorname E (Y). Dock gäller att

E⁡(XY)=∫−∞∞∫−∞∞xypXY⁡(x,y)dxdydisplaystyle operatorname E (XY)=int _-infty ^infty int _-infty ^infty xyoperatorname p_XY (x,y),dx,dy

Om Xdisplaystyle X och Ydisplaystyle Y är oberoende, så gäller

E⁡(XY)=E⁡(X)E⁡(Y)displaystyle operatorname E (XY)=operatorname E (X)operatorname E (Y)

Det omvända gäller inte (dvs att likheten är uppfylld innebär inte att variablerna måste vara oberoende).

Betingat väntevärde |

Det betingade väntevärdet kan definieras som

E⁡(X|Y)(y)=E⁡(X|Y=y)=∑xx⋅P⁡(X=x|Y=y)displaystyle operatorname E (X

Källor |

• 
  Blom, Gunnar (1984). Sannolikhetsteori med tillämpningar (2., [omarb. och utvidgade] uppl.). Lund: Studentlitteratur. ISBN 91-44-04372-4