Trong Lý thuyết xác suất, giá trị kỳ vọng, giá trị mong đợi (hoặc kỳ vọng toán học), hoặc trung bình (mean) của một biến ngẫu nhiên là trung bình có trọng số của tất cả các giá trị cụ thể của biến đó, hay là được tính bằng tổng các tích giữa xác suất xảy ra của mỗi giá trị có thể của biến với giá trị đó. Như vậy, nó biểu diễn giá trị trung bình mà người ta "mong đợi" thắng cược nếu đặt cược liên tục nhiều lần với khả năng thắng cược là như nhau. Lưu ý rằng bản thân giá trị đó có thể không được mong đợi theo nghĩa thông thường; nó có thể ít có khả năng xảy ra hoặc không thể xảy ra. Một trò chơi hoặc một tình huống trong đó giá trị kỳ vọng bằng 0 được gọi là một "trò chơi công bằng" (fair game).

Ví dụ, một vòng quay roulette có 38 kết quả có thể có khả năng như nhau. Mỗi đặt cược vào một số duy nhất thắng 35+1 (nghĩa là ta được trả 35 lần số tiền đặt cược và được nhận lại tiền đặt cược, vậy ta nhận được 36 lần tiền cược). Do đó, xét cả 38 kết quả có thể, giá trị kỳ vọng của khoản lợi thu được từ 1 đôla đặt cược cho một số duy nhất là:

(−$1×3738)+($35×138),displaystyle left(-$1times frac 3738right)+left($35times frac 138right),

nghĩa là khoảng -$0.0526. Do đó, giá trị kỳ vọng là ta sẽ mất trung bình hơn năm xu cho mỗi đôla tiền đặt cược.

Định nghĩa toán học |

Thông thường, nếu Xdisplaystyle X, là một biến ngẫu nhiên xác định trên một không gian xác suất (Ω,P)displaystyle (Omega ,P),, thì giá trị kỳ vọng của Xdisplaystyle X, (ký hiệu E[X]displaystyle mathrm E [X], hoặc đôi khi ⟨X⟩displaystyle langle Xrangle hoặc E[X]displaystyle mathbb E [X]) được định nghĩa như sau

E[X]=∫ΩX(ω)dP(ω)displaystyle mathrm E [X]=int _Omega X(omega ),dP(omega )

trong đó sử dụng tích phân Lebesgue. Lưu ý rằng không phải mọi biến ngẫu nhiên đều có một giá trị kỳ vọng, do có thể không tồn tại tích phân (ví dụ phân bố Cauchy). Hai biến ngẫu nhiên có cùng phân bố xác suất sẽ có giá trị kỳ vọng bằng nhau.

Nếu Xdisplaystyle X là một biến ngẫu nhiên rời rạc với các giá trị x1displaystyle x_1, x2displaystyle x_2,... và các xác suất tương ứng là p1displaystyle p_1, p2displaystyle p_2,... với tổng bằng 1, thì E[X]displaystyle mathrm E [X] có thể được tính bằng tổng của chuỗi

E[X]=∑ipixidisplaystyle mathrm E [X]=sum _ip_ix_i,

cũng như trong ví dụ đánh bạc nêu trên.

Nếu phân bố xác suất của Xdisplaystyle X chấp nhận một hàm mật độ xác suất f(x)displaystyle f(x), thì giá trị kỳ vọng có thể được tính như sau

E[X]=∫−∞∞xf(x)dx.displaystyle mathrm E [X]=int _-infty ^infty xf(x),mathrm d x.

Định nghĩa của trường hợp rời rạc trực tiếp suy ra rằng nếu Xdisplaystyle X là một hằng biến ngẫu nhiên (constant random variable), nghĩa là X=bdisplaystyle X=b với một bdisplaystyle b là một số thực không đổi nào đó, thì giá trị kỳ vọng của Xdisplaystyle X cũng bằng bdisplaystyle b.

Giá trị kỳ vọng của một hàm g(x) tùy ý của x, với hàm mật độ xác suất f(x) có công thức

E[g(X)]=∫−∞∞g(x)f(x)dx.displaystyle mathrm E [g(X)]=int _-infty ^infty g(x)f(x),mathrm d x.

Các tính chất |

Tuyến tính |

Phép toán giá trị kỳ vọng (hay phép toán kỳ vọng) Edisplaystyle mathrm E là phép toán tuyến tính theo nghĩa sau

E[aX+bY]=aE[X]+bE[Y]displaystyle mathrm E [aX+bY]=amathrm E [X]+bmathrm E [Y],

với hai biến ngẫu nhiên Xdisplaystyle X và Ydisplaystyle Y bất kỳ (được định nghĩa trên cùng một không gian xác suất) và hai số thực bất kỳ adisplaystyle a và bdisplaystyle b.

Kỳ vọng lặp |

Với hai biến ngẫu nhiên bất kỳ X,Ydisplaystyle X,Y, ta có thể định nghĩa kỳ vọng có điều kiện (conditional expectation):

E[X|Y](y)=E[X|Y=y]=∑xx⋅P(X=x|Y=y).Y](y)=mathrm E [X

Khi đó giá trị kỳ vọng của Xdisplaystyle X thỏa mãn

E(E[X|Y])=∑yE[X|Y=y]⋅P(Y=y)=∑y(∑xx⋅P(X=x|Y=y))⋅P(Y=y)=∑y∑xx⋅P(X=x|Y=y)⋅P(Y=y)=∑y∑xx⋅P(Y=y|X=x)⋅P(X=x)=∑xx⋅P(X=x)⋅(∑yP(Y=y|X=x))=∑xx⋅P(X=x)=E[X].displaystyle Y=y)cdot mathrm P (Y=y)\&=&sum _ysum _xxcdot mathrm P (Y=y

Do đó, đẳng thức sau là đúng:

E[X]=E(E[X|Y]).Y]right).

Vế phải của đẳng thức được gọi là kỳ vọng lặp. Mệnh đề này được nói đến trong quy tắc kỳ vọng toàn thể (law of total expectation)

Bất đẳng thức |

Nếu một biến ngẫu nhiên X luôn nhỏ hơn hay bằng một biến ngẫu nhiên Y khác, kỳ vọng của X cũng nhỏ hơn hay bằng kỳ vọng của Y:

Nếu X≤Ydisplaystyle Xleq Y, thì E[X]≤E[Y]displaystyle mathrm E [X]leq mathrm E [Y].

Đặc biệt, do X≤|X|X và −X≤|X|, giá trị tuyệt đối của kỳ vọng của một biến ngẫu nhiên nhỏ hơn hay bằng kỳ vọng của giá trị tuyệt đối của nó:

|E[X]|≤E[|X|]]

Biểu diễn |

Công thức sau đúng với mọi biến ngẫu nhiên giá trị thực không âm Xdisplaystyle X (sao cho E[X]<∞displaystyle mathrm E [X]<infty ), và số thực αdisplaystyle alpha lớn hơn 0:

E[Xα]=α∫0∞tα−1P(X>t)dt.displaystyle mathrm E [X^alpha ]=alpha int _0^infty t^alpha -1mathrm P (X>t)mathrm d t.

Không có tính nhân |

Nói chung, phép toán giá trị kỳ vọng không có tính nhân, nghĩa là E[XY]displaystyle mathrm E [XY] không nhất thiết bằng E[X]E[Y]displaystyle mathrm E [X]mathrm E [Y], ngoại trừ nếu Xdisplaystyle X và Ydisplaystyle Y là độc lập hoặc không tương quan (uncorrelated).
Sự không có tính nhân này dẫn đến nghiên cứu về hiệp phương sai (covariance) và sự tương quan (correlation).

Không bất biến về hàm |

Nói chung, phép toán kỳ vọng và hàm của các biến ngẫu nhiên không có tính hoán vị; nghĩa là

E[g(X)]=∫Ωg(X)dP≠g(E⁡X),displaystyle mathrm E [g(X)]=int _Omega g(X),mathrm d Pneq g(operatorname E X),

trừ trường hợp được ghi chú như ở trên.

Ứng dụng của giá trị kỳ vọng |

Các giá trị kỳ vọng của các lũy thừa của Xdisplaystyle X được gọi là mômen (moment) của Xdisplaystyle X; mômen quanh trung bình (moment about the mean) của Xdisplaystyle X là các giá trị kỳ vọng của các lũy thừa của X−E[X]displaystyle X-mathrm E [X]. Mômen của một số biến ngẫu nhiên có thể được sử dụng để xác định phân bố của chúng, bằng các hàm sinh mômen (moment generating function) của chúng.

Để ước lượng bằng thực nghiệm giá trị kỳ vọng của một biến ngẫu nhiên, người ta liên tục thực hiện các quan sát về biến đó và tính trung bình cộng của các kết quả. Quy trình này ước lượng giá trị kỳ vọng thực sự bằng một cách không thiên lệch và có tính chất cực tiểu hóa tổng bình phương của các thặng dư (tổng bình phương của các hiệu giữa các quan sát và ước lượng). Luật số lớn chứng minh rằng (trong điều kiện ôn hòa) khi kích thước của mẫu thống kê lớn lên thì phương sai của ước lượng này sẽ nhỏ đi.

Trong Cơ học cổ điển, tâm khối (center of mass) là khái niệm tương đương với giá trị kỳ vọng. Ví dụ, giả sử Xdisplaystyle X là một biến ngẫu nhiên rời rạc với các giá trị xidisplaystyle x_i và các xác suất tương ứng pidisplaystyle p_i. Xét một thanh ngang có trọng lượng không đáng kể, trên đó đặt các quả cân, tại các vị trí xidisplaystyle x_i là các khối lượng pidisplaystyle p_i (với tổng bằng 1). Điểm mà tại đó thanh ngang được thăng bằng (trọng tâm của nó) là E[X]displaystyle mathrm E [X]. (Tuy nhiên, cần lưu ý rằng tâm khối không đồng nghĩa với trọng tâm (center of gravity).)

Kỳ vọng của ma trận |

Nếu Xdisplaystyle X là một ma trận m×ndisplaystyle mtimes n, giá trị kỳ vọng của Xdisplaystyle X là một ma trận của các giá trị kỳ vọng:

E[X]=E[x1,1x1,2⋯x1,nx2,1x2,2⋯x2,n⋮xm,1xm,2⋯xm,n]=[E(x1,1)E(x1,2)⋯E(x1,n)E(x2,1)E(x2,2)⋯E(x2,n)⋮E(xm,1)E(xm,2)⋯E(xm,n)]displaystyle mathrm E [X]=mathrm E beginbmatrixx_1,1&x_1,2&cdots &x_1,n\x_2,1&x_2,2&cdots &x_2,n\vdots \x_m,1&x_m,2&cdots &x_m,nendbmatrix=beginbmatrixmathrm E (x_1,1)&mathrm E (x_1,2)&cdots &mathrm E (x_1,n)\mathrm E (x_2,1)&mathrm E (x_2,2)&cdots &mathrm E (x_2,n)\vdots \mathrm E (x_m,1)&mathrm E (x_m,2)&cdots &mathrm E (x_m,n)endbmatrix

Tính chất này được dùng trong các ma trận hiệp phương sai (covariance matrix).

Xem thêm |

• 
  Kỳ vọng có điều kiện (Conditional expectation)


• 
  Bất đẳng thức về các tham số vị trí và tỉ lệ. (An inequality on location and scale parameters)


• 
  Số kỳ vọng (Expected number)


• Giá trị kỳ vọng còn là một khái niệm quan trọng trong Kinh tế và Thương mại.


• Từ kỳ vọng với nghĩa thông thường.

Tham khảo |

Liên kết ngoài |

• 
  Expectation trên PlanetMath.