Bi dado botata suertatzen diren puntuen baturaren probabilitate banaketa: hurrengo jokaldietan denetariko emaitzak izan badaitezke ere (2,2,8,10), epe luzera batez beste itxaron daitekeen emaitza 7 da; 7 da, beraz, itxaropen matematikoa.

Itxaropen matematikoa, esperantza matematikoa edo itxarondako balioa zorizko aldagai baten batezbesteko balioa da, dagozkion probabilitateen arabera kalkulaturik. Intuitiboki, zorizko saiakuntza behin eta berriz errepikatuz epe luzera suertatuko litzatekeen emaitzen batez besteko balioa da, epe luzera itxaron edo espero daitekeen batez besteko emaitza alegia.

Estatistikan maiz erabiltzen den kontzeptua da: probabilitate-banaketa bateko ezaugarri jakingarrienetako bat da, parametro ezezagun gisa hartzen dena eta datuetan baliokide duen batezbesteko aritmetiko sinplearen bitartez zenbatesten dena. Matematikan, neurri-teoriatik formulazio matematiko zorrotza du eta, aldi berean, maiz erabiltzen da problema aplikatuetan, hala nola ekonomia arloko erabakien azterketan. Zorizko jokoetan ere maiz kalkulatzen da, jokalari batek jokaldi bateko batezbesteko emaitza jakiteko. Erabaki eta jokoen eremu horietako paradoxa zenbaitetan ere agertzen da, hala nola San Petersburgo paradoxan eta Allaisen paradoxan. Halaber, baliteke mutur luzeak dituzten probabilitate banakuntzetan ez existitzea.

Kalkulua probabilitate banaketa diskretu baterako |

Bedi Ωdisplaystyle Omega zorizko aldagaiak hartzen dituen balio ezberdin guztien multzoa. Itxaropen matematikoa honela kalkulatzen da:

μ=E[X]=∑Ωxp(x)displaystyle mu =E[X]=sum _Omega xp(x)

Adibidea |

Bi dado bota eta puntuen baturaren itxaropen matematikoa honela kalkulatzen da. arestiko formulan adierazten den bezala x (puntuazioak) eta p(x) (probabilitateak) hurrenik hurren bidertuz eta emaitzak batuz:

x	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	batura
p(x)	1/36	2/36	3/36	4/36	5/36	6/36	5/36	4/36	3/36	2/36	1/36	1
xp(x)	2/36	6/36	12/36	20/36	30/36	42/36	40/36	36/36	30/36	22/36	12/36	252/36=7

Ondorioz, bi dado botata, puntuazioen itxaropen matematikoa 7 da.

Kalkulua probabilitate banaketa jarraitu baterako |

Irudiko dentsitate-funtzioan probabilitate gehiena 0tik gertuko balioetan biltzen da eta gutxiena 3tik gertu. Beraz, itxaropen matematikoa gertuago dago 0tik 3tik baino: E[X]=1.

Bitez Ωdisplaystyle Omega zorizko aldagaiak hartzen duen balioen tartea eta f(x) probabilitate banaketa definitzen duen dentsitate-funtzioa. Itxaropen matematikoa honela kalkulatzen da:

μ=E[X]=∫Ωxf(x)dxdisplaystyle mu =E[X]=int _Omega xf(x)dx

Adibidea |

Likido batean litroko dagoen substantzia-kopurua (mg) probabilitate-banaketa honen araberakoa da (ikus alboko irudia):

f(x)=23−29x ;  0<x<3displaystyle f(x)=frac 23-frac 29x ; 0<x<3

Honela kalkulatzen da itxaropena:

μ=E[X]=∫03x(23−29x)dx=1displaystyle mu =E[X]=int _0^3xBig (frac 23-frac 29xBig )dx=1

Itxaropen matematikoaren propietateak |

Aldagai aldaketa lineala |

X zorizko aldagaia izanik, Y=aX+b aldagai aldaketa lineala egiten bada:

E[Y]=aE[X]+bdisplaystyle E[Y]=aE[X]+b

Zorizko aldagaien batura |

X₁, X₂, ...,X_n zorizko aldagaiak izanik, horien baturaren itxaropena horien itxaropenen batura da:

E[X1+X2+…+Xn]=E[X1]+E[X2]+…+E[Xn]displaystyle E[X_1+X_2+ldots +X_n]=E[X_1]+E[X_2]+ldots +E[X_n]

Kanpo loturak |

Wikiliburuetan liburu bat dago honi buruz: Itxaropen matematikoa

• 
  Itxaropen matematikoa eta bariantza, Gizapedian.