Keskväärtus (ehk matemaatiline ootus või ooteväärtus) on mõõdetavate suuruste ja nende realiseerumise tõenäosuste korrutiste summa. Näiteks pika katseseeria, kus ühte katset korratakse samadel tingimustel, tulemuste keskmine sarnaneb (seeria pikkuse suurenedes) üha rohkem tulemuste keskväärtusega. Keskväärtus (mingi arv) ei pruugi ise realiseeruda, näiteks täringuvisete silmade arvu keskväärtus on 3,5.

Matemaatiline definitsioon |

Olgu Xdisplaystyle X juhuslik suurus tõenäosusruumist (Ω,F,P)displaystyle (Omega ,mathcal F,P), siis juhusliku suuruse Xdisplaystyle X keskväärtus E⁡(X)displaystyle operatorname E (X) (või E⁡Xdisplaystyle operatorname E X) on defineeritud Lebesgue'i integraalina:

E⁡(X)=∫ΩXd⁡Pdisplaystyle operatorname E (X)=int _Omega X,operatorname d P.

Definitsioonist tuleneb, et mitte kõigil juhuslikel suurustel ei pruugi keskväärtust leiduda (kui vastavat Lebesgue'i integraali ei eksisteeri, nt Cauchy jaotuse korral).

Kui juhuslikul suurusel Xdisplaystyle X leidub tihedusfunktsioon fX(x)displaystyle f_X,(x), siis saab tema keskväärtust arvutada järgnevalt:

E⁡(X)=∫−∞∞xfX(x)d⁡xdisplaystyle operatorname E (X)=int _-infty ^infty xf_X,(x),operatorname d x.

Kui juhuslik suurus Xdisplaystyle X on diskreetne juhuslik suurus (väärtuste hulk on loenduv) vastavalt väärtustega x1displaystyle x_1, x2displaystyle x_2, ... ja tõenäosustega p1displaystyle p_1, p2displaystyle p_2, ... (kusjuures pidisplaystyle p_i tähistab väärtuse xidisplaystyle x_i realiseerumise tõenäosust ühel katsel ja nende tõenäosuste summa on 1), siis juhusliku suuruse Xdisplaystyle X keskväärtust saab arvutada loenduva summana:

E⁡(X)=∑ipixidisplaystyle operatorname E (X)=sum _ip_ix_i.

Kui suuruse Xdisplaystyle X väärtusi on lõplik arv ndisplaystyle n (ehk neid väärtusi on ndisplaystyle n tükki: x1displaystyle x_1, x2displaystyle x_2, ..., xndisplaystyle x_n), siis

E⁡(X)=∑i=1nxipidisplaystyle operatorname E (X)=sum _i=1^nx_ip_i.

Omadused |

Olgu Xdisplaystyle X ja Ydisplaystyle Y keskväärtust omavad juhuslikud suurused.

Monotoonsus |

Kui X⩽Ydisplaystyle Xleqslant Y kehtib alati (st P⁡(X⩽Y)=1displaystyle operatorname P (Xleqslant Y)=1), siis ka E⁡(X)⩽E⁡(Y)displaystyle operatorname E (X)leqslant operatorname E (Y).

Lineaarsus |

E⁡(αX+βY)=αE⁡(X)+βE⁡(Y)displaystyle operatorname E (alpha X+beta Y)=alpha operatorname E (X)+beta operatorname E (Y) iga reaalarvulise αdisplaystyle alpha ja βdisplaystyle beta korral. Muu hulgas

E⁡(α)=αdisplaystyle operatorname E (alpha )=alpha ,

E⁡(αX)=αE⁡(X)displaystyle operatorname E (alpha X)=alpha operatorname E (X).

Korrutatavus |

Kui Xdisplaystyle X ja Ydisplaystyle Y on sõltumatud, siis
E⁡(XY)=E⁡(X)⋅E⁡(Y)displaystyle operatorname E (XY)=operatorname E (X)cdot operatorname E (Y).
Üldjuhul ei pruugi see kehtida.

Näited |

Täringuvise |

Olgu katseks üks täringuvise ning katse tulemuseks loeme saadud silmade arvu täringul (1, 2, 3, 4, 5 või 6 silma). Eeldame, et täring on "aus", st kõigi silmade arvu tulemiseks on võrdne võimalus. Siis ühe silma saamise tõenäosus ühel viskel on 1/6 (p1=1/6displaystyle p_1=1/6), kahe silma saamise tõenäosus ühel viskel 1/6 jne. Täringuvisete silmade arvu keskväärtus on siis

E⁡(X)=1⋅1/6+2⋅1/6+3⋅1/6+4⋅1/6+5⋅1/6+6⋅1/6=∑i=16xipi=3,5displaystyle operatorname E (X)=1cdot 1/6+2cdot 1/6+3cdot 1/6+4cdot 1/6+5cdot 1/6+6cdot 1/6=sum _i=1^6x_ip_i=3,5,

kus Xdisplaystyle X tähistab silmade arvu, mis on juhuslik suurus, xi=idisplaystyle x_i=i ja pi=1/6displaystyle p_i=1/6, nagu eelnevalt kirjeldatud.

Selles näites saadud keskväärtus langeb kokku silmade arvu aritmeetilise keskmisega, sest kõigi silmade saamise tõenäosused on võrdsed. Kui meil oleks olnud tegemist ebaausa täringuga, kus ühe silma saamise tõenäosus on teistest suurem, näitkeks p1=0,5displaystyle p_1=0,5 ja p2=...=p6=0,1displaystyle p_2=...=p_6=0,1, siis oleks keskväärtuseks tulnud 2,5. (See arv näitab, et pika katseseeria jooksul oleks visketulemuste keskmine olnud ligikaudu 2,5.)

Eksponentjaotus |

Olgu juhuslik suurus Xdisplaystyle X eksponentjaotusest parameetriga λ≥0displaystyle lambda geq 0, st tema tihedusfunktsioon on f(x)=λe−λxdisplaystyle f(x)=lambda e^-lambda x, kus x≥0displaystyle xgeq 0. Kasutades ositi integreerimist, saame tema keskväärtuseks

E⁡(X)=∫−∞∞xf(x)d⁡x=∫−∞0xf(x)d⁡x+∫0∞xf(x)d⁡x=0+∫0∞x⋅λe−λxd⁡x=displaystyle operatorname E (X)=int _-infty ^infty xf(x)operatorname d x=int _-infty ^0xf(x)operatorname d x+int _0^infty xf(x)operatorname d x=0+int _0^infty xcdot lambda e^-lambda xoperatorname d x=

=(−xe−λx)|0∞−∫0∞(−e−λx)d⁡x=0+∫0∞−1λe−λxd⁡(−λx)=displaystyle =(-xe^-lambda x)operatorname _0^infty -int _0^infty (-e^-lambda x)operatorname d x=0+int _0^infty -1 over lambda e^-lambda xoperatorname d (-lambda x)=

=−1λe−λx|0∞=0−(−1λ)=1λdisplaystyle =-1 over lambda e^-lambda xoperatorname _0^infty =0-(-1 over lambda )=1 over lambda .

Vaata ka |

• Pinnakese