기댓값

확률론에서, 확률 변수의 기댓값(期待값, 영어: expected value)은 각 사건이 벌어졌을 때의 이득과 그 사건이 벌어질 확률을 곱한 것을 전체 사건에 대해 합한 값이다. 이것은 어떤 확률적 사건에 대한 평균의 의미로 생각할 수 있다.

모 평균(population mean) μ는 모 집단의 평균이다. 모두 더한 후 전체 데이터 수 n으로 나눈다. 확률 변수의 기댓값이다.

정의

확률공간 $(P,mathcal P,mu )$ 위의 실수값 확률 변수 $Xcolon Pto mathbb R$ 의 기댓값 $displaystyle operatorname E [X]$ 은 그 르베그 적분이다.

displaystyle operatorname E [X]=int _PX,dmu

예를 들어, 이산 확률 변수일 경우에는 다음과 같다.

displaystyle operatorname E [X]=sum _ip_ix_i

여기서 $x_i$ 는 가능한 모든 사건, $p(x_i)$ 는 $x_i$ 사건이 일어날 확률을 의미한다. 연속 확률 변수일 경우에는 다음과 같다.

displaystyle operatorname E [X]=int _-infty ^infty xf(x) operatorname d x

이 때 $f(x)$ 는 확률밀도함수를 나타낸다.

예를 들어, 주사위를 한 번 던졌을 때, 각 눈의 값이 나올 확률은 1/6이고, 주사위값의 기댓값은 각 눈의 값에 그 확률을 곱한 값의 합인

1cdot frac 16+2cdot frac 16+3cdot frac 16+4cdot frac 16+5cdot frac 16+6cdot frac 16=3.5

가 된다.

“Mathematical expectation”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.

Weisstein, Eric Wolfgang. “Expectation value”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.

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