Odotusarvo on todennäköisyyslaskennassa ja tilastotieteessä satunnaisilmiön tuottamien lukujen odotettavissa oleva arvo. Numeerisia lukuarvoja tuottavia satunnaisilmiöitä kutsutaan satunnaismuuttujiksi. Satunnaismuuttujan tuottamat luvut ja niiden todennäköisyydet muodostavat yhdessä todennäköisyysjakauman. Odotusarvo on todennäköisyysjakauman ensimmäinen tunnusluku eli momentti.^[1][2][3][4]

Keskiarvo ja odotusarvo samaistetaan usein toisiinsa, vaikka odotusarvo on todennäköisyyslaskennan käsite ja keskiarvo lukuihin liittyvä tilastotieteen käsite. Odotusarvo saadaan laskemalla keskiarvo äärettömän monesta, yhden satunnaismuuttujan tuottamasta luvusta. Se voidaan myös tulkita keskiarvoksi äärettömän monesta äärellisen kokoisesta otoskeskiarvosta. Odotusarvolla on sama yksikkö kuin satunnaismuuttujalla.^[1][4][5][3]

Määritelmä ja merkinnät |

Odotusarvo voidaan merkitä eri tavoilla E⁡(X)=μX=μ=⟨X⟩.displaystyle operatorname E (X)=mu _X=mu =langle Xrangle . ^[5][4][2]

Matemaattisesti odotusarvo E⁡(X)displaystyle operatorname E (X) määritellään diskreeteille ja jatkuville satunnaismuuttujille erikseen.

Diskreetti satunnaismuuttuja |

Diskreetin satunnaismuuttujan Xdisplaystyle X saamien kaikkien arvojen joukkoa kutsutaan todennäköisyyslaskennassa perusjoukoksi ja se merkitään Ω=X=x1,x2,…,xn.displaystyle Omega =X=x_1,x_2,dots ,x_n. Kunkin arvon esiintymistodennäköisyyttä merkitään vastaavasti p1,p2,… ja pn.displaystyle p_1,p_2,dots text ja p_n. Näitä todennäköisyyksiä kutsutaan usein pistetodennäköisyyksiksi ja niitä saatetaan merkitä myös

pi=p(xi)=fX(xi),displaystyle p_i=p(x_i)=f_X(x_i), ^[5]

jossa funktioita p(xi)displaystyle p(x_i) ja fX(xi)displaystyle f_X(x_i) kutsutaan pistetodennäköisyysfunktioiksi.

Diskreetin satunnaismuuttujan odotusarvo määritellään nyt (eri merkintätapoja käyttäen)

E⁡(X)=∑i=1nxipi=∑xi∈Ωxip(xi)=∑xi∈XxifX(xi).displaystyle operatorname E (X)=sum _i=1^nx_ip_i=sum _x_iin Omega x_ip(x_i)=sum _x_iin Xx_if_X(x_i). ^[2][3][6]

Esimerkkinä nopanheitto |

Pisteluvun odotusarvo kuusitahoiselle nopalle, jonka kaikkien pistelukujen todennäköisyys on yhtä suuri, on

E⁡(X)=1⋅16+2⋅16+3⋅16+4⋅16+5⋅16+6⋅16=1+2+3+4+5+66=3,5displaystyle operatorname E (X)=1cdot frac 16+2cdot frac 16+3cdot frac 16+4cdot frac 16+5cdot frac 16+6cdot frac 16=frac 1+2+3+4+5+66=3,5.^[5][2]

Noppapelissä pelaaja voi odottaa etenevänsä pelilaudalla noin 3,5 askelta kierrosta kohti.^[3]

Jatkuva satunnaismuuttuja |

Jatkuvan satunnaismuuttujan Xdisplaystyle X saamien reaalilukuarvojen joukko muodostaa vähintään yhden yhtenäisen lukuvälin Idisplaystyle I, joka on reaalilukujen osajoukko. Luvut Idisplaystyle I muodostavat satunnaismuuttujan perusjoukon Ωdisplaystyle Omega ja se voidaan merkitä I=Ω∈Rdisplaystyle I=Omega in mathbb R . Reaalilukuja ei voida luetella, joten yksittäiseen lukuun liittyvää todennäköisyyttäkään ei voida esittää luettelemalla. Sen sijaan jokaisen välin Idisplaystyle I luvulle voidaan liittää lukuarvo käyttämällä funktiota. Tätä funktiota kutsutaan todennäköisyyslaskennassa tiheysfunktioksi. Tiheysfunktion arvot eivät ole suoraan todennäköisyyksiä, mutta sen avulla voidaan eri tapahtumille laskea ne.^[5]

Jatkuvan satunnaismuuttujan tiheysfunktio on fX(x)displaystyle f_X(x) ja tämän avulla määritellään satunnaismuuttujan odotusarvo

E⁡(X)=∫−∞∞xfX(x)dxdisplaystyle operatorname E (X)=int _-infty ^infty xf_X(x),dx. ^[5][2]

Yleisempi jatkuva määritelmä |

Määritellään satunnaismuuttujan X:Ω→Rdisplaystyle scriptstyle X:Omega rightarrow mathbb R odotusarvo integraalina yli satunnaismuuttujan perusjoukon Ωdisplaystyle scriptstyle Omega todennäköisyysmitan Pdisplaystyle scriptstyle P suhteen

E⁡(X)=∫ΩXdPdisplaystyle operatorname E (X)=int _Omega X,dP. ^[7]

Tämä voidaan kirjoittaa satunnaismuuttujan Xdisplaystyle X kertymäfunktion Fdisplaystyle F suhteen Lebesgue–Stieltjes-integraalilla

E⁡(X)=∫−∞∞xdP(X≤x)=∫−∞∞xdF(x)displaystyle operatorname E (X)=int _-infty ^infty x,dP(Xleq x)=int _-infty ^infty x,dF(x). ^[7]

Satunnaismuuttujan funktion odotusarvo |

Jos g(x)displaystyle g(x) on mitallinen funktio, voidaan laskea sillekin odotusarvo E⁡(g(X)).displaystyle operatorname E (g(X)). Jos Xdisplaystyle X on diskreetti satunnaismuuttuja, on odotusarvo

E⁡(g(X))=∑xi∈Xg(xi)fX(xi).displaystyle operatorname E (g(X))=sum _x_iin Xg(x_i)f_X(x_i). ^[6][7]

ja jos se on jatkuva, saadaan odotusarvoksi

E⁡(g(X))=∫−∞∞g(x)fX(x)dxdisplaystyle operatorname E (g(X))=int _-infty ^infty g(x)f_X(x),dx ^[7]

Tällä ajattelulla on mahdollista määrittää esimerkiksi origomomentteja E⁡(X2)…displaystyle operatorname E (X^2)dots E⁡(Xn)displaystyle operatorname E (X^n) tai keskusmomentteja E⁡((X−μ)n).displaystyle operatorname E ((X-mu )^n).

Ehdollinen odotusarvo |

Satunnaismuuttujan Xdisplaystyle X ehdollinen odotusarvo alisigma-algebralla G⊂Fdisplaystyle scriptstyle mathcal Gsubset mathcal F on Gdisplaystyle scriptstyle mathcal G-mitallinen satunnaismuuttuja E(X|G)displaystyle scriptstyle mathrm E (X,, jolle yhtälö

∫GE(X|G)dP=∫GXdPdisplaystyle int _Gmathrm E (X,

pätee kaikilla G∈Gdisplaystyle scriptstyle Gin mathcal G. Satunnaismuuttujan Xdisplaystyle X ehdollinen odotusarvo ehdolla satunnaismuuttuja Ydisplaystyle Y on E(X|σ(Y)),sigma (Y)), missä σ(Y)displaystyle sigma (Y) tarkoittaa satunnaismuuttujan Ydisplaystyle Y virittämää sigma-algebraa.

On huomattava, että ehdollinen odotusarvo on satunnaismuuttuja, eli funktio ehdollistettavasta muuttujasta. Ehdollinen odotusarvo ehdolla G∈Gdisplaystyle scriptstyle Gin mathcal G on E(X|G)(ω),mathcal G)(omega ), missä ω∈Gdisplaystyle scriptstyle omega in G on reaaliluku.

Ominaisuuksia |

Todennäköisyysmassalla tarkoitetaan todennäköisyyslaskennassa pistetodennäköisyysfunktion pylväikköä tai tiheysfunktion kuvaajan alle jäävää aluetta. Odotusarvo on sellainen satunnaismuuttujan arvo, joka vastaa tämän alueen painopistettä. Symmetrisen jakauman keskikohta on myös jakauman odotusarvo.^[5]

Satunnaismuuttujan Xdisplaystyle X, jonka ulostuloina on vain vakion adisplaystyle a arvoja, odotusarvo on

E⁡[X]=a.displaystyle operatorname E [X]=a. ^[4]

Tästä seuraa myös, että E⁡[E⁡[X]]=E⁡[X]=a.displaystyle operatorname E [operatorname E [X]]=operatorname E [X]=a. ^[5]

Odotusarvon olemassaolo |

Todennäköisyysjakaumalla ei välttämättä ole olemassa odotusarvoa, jos jakauma ei toteuta niin sanottua itseistä satunnaismuuttujan odotusarvoa (itseisarvo)

∑xi∈X|xi|p(xi)<∞x_i

tai jatkuvassa tapauksessa

∫−∞∞|x|fX(x)dx<∞.displaystyle int _-infty ^infty ^[5][6][7]

Satunnaismuuttujan sanotaan olevan integroituva, jos sen odotusarvo on äärellinen eli E(X)<∞displaystyle mathrm E (X)<infty . Jos se ei ole integroituva, on se vielä kvasi-integroituva, jos E(maxX,0)<∞displaystyle scriptstyle mathrm E (maxX,0)<infty tai E(min−X,0)<∞displaystyle scriptstyle mathrm E (min-X,0)<infty .

Summat ja lineaarikombinaatiot |

Seuraaville satunnaismuuttujille X,Ydisplaystyle X,Y ja X1,X2,…,Xndisplaystyle X_1,X_2,dots ,X_n sekä reaaliluvuille a,bdisplaystyle a,b ja a1,a2,…,andisplaystyle a_1,a_2,dots ,a_n voidaan johtaa seuraavia tuloksia.

Odotusarvo on lineaarinen operaattori, jolloin suorien summien odotusarvo on

E⁡(X±Y)=E⁡(X)±E⁡(Y)displaystyle operatorname E (Xpm Y)=operatorname E (X)pm operatorname E (Y) ^[5]

ja lineaarikombinaatioiden odotusarvo on

E⁡(aX+bY)=aE⁡(X)+bE⁡(Y).displaystyle operatorname E (aX+bY)=aoperatorname E (X)+boperatorname E (Y). ^[5][7]

Tällöin useamman satunnaismuuttujan tapauksissa on myös

E⁡(X1+X2+⋯+Xn)=E⁡(X1)+E⁡(X2)+⋯+E⁡(Xn)displaystyle operatorname E (X_1+X_2+dots +X_n)=operatorname E (X_1)+operatorname E (X_2)+dots +operatorname E (X_n) ^[4]

ja

E⁡(a1X1+a2X2+⋯+anXn)=a1E⁡(X1)+a2E⁡(X2)+⋯+anE⁡(Xn).displaystyle operatorname E (a_1X_1+a_2X_2+dots +a_nX_n)=a_1operatorname E (X_1)+a_2operatorname E (X_2)+dots +a_noperatorname E (X_n). ^[4]

Luvun lisääminen satunnaismuuttujien arvoihin vaikuttaa myös sen odotusarvoon

E⁡(X+a)=E⁡(X)+E⁡(a)=E⁡(X)+a.displaystyle operatorname E (X+a)=operatorname E (X)+operatorname E (a)=operatorname E (X)+a.

Satunnaismuuttujan ensimmäinen keskusmomentti on aina nolla, koska

E⁡(X−μX)=E⁡(X)−E⁡(μX)=E⁡(X)−μX=E⁡(X)−E⁡(X)=0,displaystyle operatorname E (X-mu _X)=operatorname E (X)-operatorname E (mu _X)=operatorname E (X)-mu _X=operatorname E (X)-operatorname E (X)=0,

jos μX=E⁡(X).displaystyle mu _X=operatorname E (X).

Tulot |

Riippumattomien satunnaismuuttujien tulon odotusarvo on kahden satunnaismuuttujan tapauksessa

E⁡(X⋅Y)=E⁡(X)⋅E⁡(Y)displaystyle operatorname E (Xcdot Y)=operatorname E (X)cdot operatorname E (Y)

ja usean satunnaismuuttujan tapauksessa

E⁡(X1⋅X2…Xn)=E⁡(X1)⋅E⁡(X2)…E⁡(Xn).displaystyle operatorname E (X_1cdot X_2dots X_n)=operatorname E (X_1)cdot operatorname E (X_2)dots operatorname E (X_n). ^[8]

Riippuvassa tapauksessa

E⁡(X⋅Y)=E⁡(X)⋅E⁡(Y)+σ(X,Y).displaystyle operatorname E (Xcdot Y)=operatorname E (X)cdot operatorname E (Y)+sigma (X,Y).

Lisäksi jos X≥0displaystyle scriptstyle Xgeq 0, niin E⁡(X)≥0displaystyle scriptstyle operatorname E (X)geq 0, ja yleisemmin jos X≥Ydisplaystyle scriptstyle Xgeq Y, niin E⁡(X)≥E⁡(Y)displaystyle scriptstyle operatorname E (X)geq operatorname E (Y).

Ehdolliselle odotusarvolle pätee niin sanottu iteroidun odotusarvon laki

E⁡(X)=EY⁡(EX⁡(X|Y)).Y)right).

Populaatio- ja otoskeskiarvo |

Odotusarvo on satunnaismuuttujan tärkein tunnusluku. Otoskeskiarvolla tarkoitetaan suppean otoksen keskiarvoa suuremmasta populaatiosta. Sen avulla on mahdollista selvittää odotusarvon suuruus likimääräisesti, mutta kuitenkin "edullisesti". Keskiarvoa on tällöin pidettävä odotusarvon estimaattorina.^[9]

Kun lasketaan otoskeskiarvojen odotusarvoa, saadaan edellisten päättelysääntöjen avulla

E⁡(x¯)=E⁡(1n∑i=1nxi)=1n∑i=1nE⁡(xi)=1n∑i=1nE⁡(X)=1nnE⁡(X)=E⁡(X).displaystyle operatorname E (bar x)=operatorname E left(frac 1nsum _i=1^nx_iright)=frac 1nsum _i=1^noperatorname E (x_i)=frac 1nsum _i=1^noperatorname E (X)=frac 1nnoperatorname E (X)=operatorname E (X).

Tämä tarkoittaa sitä, että keskiarvon lausekkeella saadaan keskimäärin odotusarvon tuloksia eli estimaattori on harhaton.^[10]

Keskiarvolla on toinen ominaisuus, joka liittyy estimointiin. Kun keskiarvon laskemiseksi kasvataetaan otoksen lukumäärää (otoksen ulostulot ovat riippumattomia toisistaan), käy keskiarvon varianssin

σ2(1n∑i=1nxi)=1n2σ2(∑i=1nxi)=1n2∑i=1nσ2(xi)=1n2∑i=1nσ2=σ2n.displaystyle sigma ^2left(frac 1nsum _i=1^nx_iright)=frac 1n^2,sigma ^2left(sum _i=1^nx_iright)=frac 1n^2sum _i=1^nsigma ^2(x_i)=frac 1n^2sum _i=1^nsigma ^2=frac sigma ^2n.

Keskiarvo on tarkentuva odotusarvon estimaattori, koska varianssi pienenee kun otoksen lukumäärä ndisplaystyle n kasvaa.^[10]

Suurten lukujen lakien mukaan satunnaismuuttujan keskiarvo toistokokeessa on sen odotusarvo ja keskiarvo on siten odotusarvon harhaton ja tarkentuva estimaattori.

Lähteet |