L'esperança matemàtica (o esperança, o mitjana poblacional) és un concepte de la teoria de la probabilitat. L'esperança d'una variable aleatòria discreta és la suma de la probabilitat de cada possible esdeveniment multiplicat pel valor de l'esmentat esdeveniment. Per tant, representa la quantitat mitjana que un "espera" com a resultat d'un experiment aleatori quan la probabilitat de cada esdeveniment es manté constant i l'experiment es repeteix un elevat nombre de vegades. Val a dir que el valor que pren l'esperança matemàtica en alguns casos pot no ser "esperat" en el sentit més general de la paraula - el valor de l'esperança pot ser improbable o fins i tot impossible. Per exemple, el valor esperat quan llencem un dau equilibrat de 6 cares és 3,5 però 3,5 no és un valor possible al rodar el dau. Una aplicació comú de l'esperança matemàtica és en les apostes o els jocs d'atzar.

Història

Al segle XVII Blaise Pascal va estudiar el problema del joc a petició d'Antoine Gombaud. El problema era que els dos jugadors que volen acabar un joc d'hora i, donades les actuals circumstàncies del joc, volen dividir l'aposta justa, basada en la possibilitat que cada un té de guanyar el joc des d'aquest punt. Com han de trobar aquesta "quantitat justa"? El 1654 va mantenir correspondència amb Pierre de Fermat sobre el tema dels jocs d'atzar, i és en el debat sobre aquest problema que es van bastir els fonaments de la teoria matemàtica de les probabilitats i la noció de valor esperat.

L'ús de la lletra "E" per indicar el valor esperat es remunta a William Allen Whitworth (1901) "Choice and chance". El símbol s'ha tornat popular ja que per als escriptors anglesos significa "Expectation", per als alemanys "Erwartungswert", i per als francesos "espérance".

Definició matemàtica

En general, si Xdisplaystyle X, és una variable aleatòria definida en un espai de probabilitat (Ω,Σ,P)displaystyle (Omega ,Sigma ,P), i integrable respecte a la mesura de probabilitat P, aleshores l'esperança matemàtica de Xdisplaystyle X, (denotada E⁡(X)displaystyle operatorname E (X), o de vegades ⟨X⟩displaystyle langle Xrangle o E(X)displaystyle mathbb E (X)) es defineix com a

E⁡(X)=∫ΩXd⁡Pdisplaystyle operatorname E (X)=int _Omega X,operatorname d P

on la integral és una integral de Lebesgue respecte a la mesura de probabilitat P. Cal tenir en compte que no totes les variables aleatòries són integrables: no totes tenen l'esperança matemàtica definida (per exemple, la distribució de Cauchy). Dues variables amb la mateixa distribució de probabilitat tenen el mateix valor esperat, si aquest està definit.

Si Xdisplaystyle X és una variable aleatòria discreta la integral es calcula d'acord amb la següent fórmula:

E⁡(X)=∑ipixidisplaystyle operatorname E (X)=sum _ip_ix_i,

Si Xdisplaystyle X és una variable aleatòria contínua, és a dir que té una funció de densitat de probabilitat f(x)displaystyle f(x), aleshores la integral pot calcular-se d'acord amb la següent fórmula:

E⁡(X)=∫−∞∞xf(x)d⁡x.displaystyle operatorname E (X)=int _-infty ^infty xf(x),operatorname d x.

Una conseqüència directa de la definició pel cas discret es que si Xdisplaystyle X és una variable aleatòria constant, és a dir X=bdisplaystyle X=b per algun nombre real fix bdisplaystyle b, aleshores l'esperança matemàtica de Xdisplaystyle X és bdisplaystyle b.

L'esperança matemàtica d'una funció qualsevol de Xdisplaystyle X, diguem g(X)displaystyle g(X), es calcula

E⁡(g(X))=∑ipig(xi)displaystyle operatorname E (g(X))=sum _ip_ig(x_i),

en el cas discret i

E⁡(g(X))=∫−∞∞g(x)f(x)d⁡xdisplaystyle operatorname E (g(X))=int _-infty ^infty g(x)f(x),operatorname d x

en el cas continu.

Exemples

Exemple 1: El valor esperat quan llencem un dau equilibrat de 6 cares:

E⁡[X]=1⋅16+2⋅16+3⋅16+4⋅16+5⋅16+6⋅16=3.5.displaystyle operatorname E [X]=1cdot frac 16+2cdot frac 16+3cdot frac 16+4cdot frac 16+5cdot frac 16+6cdot frac 16=3.5.

Exemple 2: La ruleta americana té 38 caselles equiprobables. El guany per encertar una aposta a un sol número paga de 35 a 1 (és a dir, cobrem 35 vegades el que hem apostat i recuperem l'aposta, de manera que rebem 36 vegades el que hem apostat). Per tant, considerant els 38 possibles resultats, l'esperança matemàtica del benefici per apostar a un sol número és:

(−1×3738)+(35×138),displaystyle left(-1times frac 3738right)+left(35times frac 138right),

que és −0.0526 aproximadament. Per tant un espera, en mitjana, perdre uns 5 cèntims per cada euro que aposta, i el valor esperat per apostar 1 euro són 0.9474 euros. En el món de les apostes, un joc on el benefici esperat és zero (no guanyem ni perdem) s'anomena un "joc just".

Propietats

Constants

El valor esperat d'una constant és igual a la mateixa constant, és a dir,
si c és una constant, E(c) = c

Monotonia

Si X i Y són variables aleatòries tals que X≤Ydisplaystyle Xleq Y de forma quasi segura, aleshores E⁡(X)≤E⁡(Y)displaystyle operatorname E (X)leq operatorname E (Y).

Linealitat

L'esperança matemàtica Edisplaystyle operatorname E és un operador lineal:

E⁡(X+c)=E⁡(X)+cdisplaystyle operatorname E (X+c)=operatorname E (X)+c,

E⁡(X+Y)=E⁡(X)+E⁡(Y)displaystyle operatorname E (X+Y)=operatorname E (X)+operatorname E (Y),

E⁡(aX)=aE⁡(X)displaystyle operatorname E (aX)=aoperatorname E (X),

Combinant els resultats de les tres equacions prèvies, veiem que:

E⁡(aX+b)=aE⁡(X)+bdisplaystyle operatorname E (aX+b)=aoperatorname E (X)+b,

E⁡(aX+bY)=aE⁡(X)+bE⁡(Y)displaystyle operatorname E (aX+bY)=aoperatorname E (X)+boperatorname E (Y),

per dues variables aleatòries Xdisplaystyle X i Ydisplaystyle Y qualsevol (que han d'haver estat definides en el mateix espai de probabilitat) i nombres reals adisplaystyle a i bdisplaystyle b qualssevol.

Esperança iterada

Esperança iterada per variables aleatòries discretes

Per a dues variables aleatòries discretes
X,Ydisplaystyle X,Y definim l'esperança condicional:

E⁡(X|Y)(y)=E⁡(X|Y=y)=∑xx⋅P⁡(X=x|Y=y).Y=y)=sum limits _xxcdot operatorname P (X=x

on P⁡(X=x|Y=y).displaystyle operatorname P (X=x és la probabilitat de l'esdeveniment X=xdisplaystyle X=x
condicional a Y=ydisplaystyle Y=y.
Per tant, E⁡(X|Y)displaystyle operatorname E (X és una funció de ydisplaystyle y.

L'esperança de Xdisplaystyle X satisfà

E⁡(E⁡(X|Y))=∑yE⁡(X|Y=y)⋅P⁡(Y=y)Y)right)=sum limits _yoperatorname E (X

=∑y(∑xx⋅P⁡(X=x|Y=y))⋅P⁡(Y=y)Y=y)right)cdot operatorname P (Y=y),

=∑y∑xx⋅P⁡(X=x|Y=y)⋅P⁡(Y=y)Y=y)cdot operatorname P (Y=y),

=∑y∑xx⋅P⁡(Y=y|X=x)⋅P⁡(X=x)displaystyle =sum limits _ysum limits _xxcdot operatorname P (Y=y

=∑xx⋅P⁡(X=x)⋅(∑yP⁡(Y=y|X=x))displaystyle =sum limits _xxcdot operatorname P (X=x)cdot left(sum limits _yoperatorname P (Y=y

=∑xx⋅P⁡(X=x)displaystyle =sum limits _xxcdot operatorname P (X=x),

=E⁡(X).displaystyle =operatorname E (X).,

Per tant, arribem a la següent equació:

E⁡(X)=E⁡(E⁡(X|Y)).Y)right).

La part dreta de l'equació s'anomena esperança iterada. Aquesta proposició també es coneix com
a llei de l'esperança total.

Esperança iterada per a variables aleatòries qualssevol

Per a variables aleatòries contínues, el resultat és completament anàleg. La definició d'esperança condicional empra funcions de densitat de probabilitat i les sumes esdevenen integrals (respecte a la mesura de Lebesgue). El resultat principal continua essent vàlid:

E⁡(X)=E⁡(E⁡(X|Y)).Y)right).

La llei de l'esperança iterada és vàlida també per variables aleatòries amb una distribució qualssevol, per exemple variables que segueixen una mixtura de variables contínues i discretes. En lloc d'emprar integrals respecte de la mesura de Lebesque, la integral es pren respecte la llei de probabilitat de Xdisplaystyle X condicionada a Ydisplaystyle Y (veure teorema de Bayes).

Desigualtat

Si la variable X sempre és menor que la variable Y (és a dir, X≤Ydisplaystyle Xleq Y de forma
quasi segura o amb probabilitat 1), l'esperança d'X és menor que la d'Y:

Si X≤Ydisplaystyle Xleq Y, aleshores E⁡(X)≤E⁡(Y)displaystyle operatorname E (X)leq operatorname E (Y).

En particular, tenint en compte que X≤|X|X i que −X≤|X|displaystyle -Xleq ,
el valor absolut de l'esperança matemàtica d'una variable aleatòria és menor o igual a l'esperança del seu valor absolut:

|E⁡(X)|≤E⁡(|X|)displaystyle