Der Erwartungswert (selten und doppeldeutig Mittelwert), der oft mit μdisplaystyle mu abgekürzt wird, ist ein Grundbegriff der Stochastik. Der Erwartungswert einer Zufallsvariablen beschreibt die Zahl, die die Zufallsvariable im Mittel annimmt. Er ergibt sich zum Beispiel bei unbegrenzter Wiederholung des zugrunde liegenden Experiments als Durchschnitt der Ergebnisse. Das Gesetz der großen Zahlen beschreibt, in welcher Form genau die Durchschnitte der Ergebnisse bei wachsender Anzahl der Experimente gegen den Erwartungswert streben, oder anders gesagt, wie die Stichprobenmittelwerte bei wachsender Stichprobengröße gegen den Erwartungswert konvergieren.

Er bestimmt die Lokalisation (Lage) der Verteilung der Zufallsvariablen und ist vergleichbar mit dem empirischen arithmetischen Mittel einer Häufigkeitsverteilung in der deskriptiven Statistik. Er berechnet sich als nach Wahrscheinlichkeit gewichtetes Mittel der Werte, die die Zufallsvariable annimmt. Er muss selbst jedoch nicht einer dieser Werte sein. Insbesondere kann der Erwartungswert die Werte ±∞displaystyle pm infty annehmen.

Weil der Erwartungswert nur von der Wahrscheinlichkeitsverteilung abhängt, wird vom Erwartungswert einer Verteilung gesprochen, ohne Bezug auf eine Zufallsvariable. Der Erwartungswert einer Zufallsvariablen kann als Schwerpunkt der Wahrscheinlichkeitsmasse betrachtet werden und wird daher als ihr erstes Moment bezeichnet.

Motivation |

Die Augenzahlen beim Würfelwurf können als unterschiedliche Ausprägungen einer Zufallsvariablen Xdisplaystyle X betrachtet werden. Weil die (tatsächlich beobachteten) relativen Häufigkeiten sich gemäß dem Gesetz der großen Zahlen mit wachsendem Stichprobenumfang ndisplaystyle n den theoretischen Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Augenzahlen annähern, muss der Mittelwert gegen den Erwartungswert von Xdisplaystyle X streben. Zu dessen Berechnung werden die möglichen Ausprägungen mit ihrer theoretischen Wahrscheinlichkeit gewichtet.

E⁡(X)=1⋅P(X=1)+2⋅P(X=2)+3⋅P(X=3)+4⋅P(X=4)+5⋅P(X=5)+6⋅P(X=6)=(1+2+3+4+5+6)⋅16=3,5.displaystyle beginarraylcloperatorname E (X)&=&1cdot P(X=1)+2cdot P(X=2)+3cdot P(X=3)+4cdot P(X=4)+5cdot P(X=5)+6cdot P(X=6)\&=&(1+2+3+4+5+6)cdot tfrac 16=3,5.endarray

Wie die Ergebnisse der Würfelwürfe ist der Mittelwert vom Zufall abhängig. Im Unterschied dazu ist der Erwartungswert eine feste Kennzahl der Verteilung der Zufallsvariablen Xdisplaystyle X.

Die Definition des Erwartungswerts steht in Analogie zum gewichteten Mittelwert von empirisch beobachteten Zahlen. Hat zum Beispiel eine Serie von zehn Würfelversuchen die Ergebnisse 4, 2, 1, 3, 6, 3, 3, 1, 4, 5 geliefert, kann der zugehörige Mittelwert

x¯=(4+2+1+3+6+3+3+1+4+5)⋅110=3,2displaystyle bar x=(4+2+1+3+6+3+3+1+4+5)cdot tfrac 110=3,2

alternativ berechnet werden, indem zunächst gleiche Werte zusammengefasst und nach ihrer relativen Häufigkeit gewichtet werden:

x¯=210⋅1+110⋅2+310⋅3+210⋅4+110⋅5+110⋅6=3,2displaystyle bar x=tfrac 210cdot 1+tfrac 110cdot 2+tfrac 310cdot 3+tfrac 210cdot 4+tfrac 110cdot 5+tfrac 110cdot 6=3,2.

Allgemein lässt der Mittelwert der Augenzahlen in ndisplaystyle n Würfen sich wie

1⋅hn(1)+2⋅hn(2)+3⋅hn(3)+4⋅hn(4)+5⋅hn(5)+6⋅hn(6),displaystyle 1cdot h_n(1)+2cdot h_n(2)+3cdot h_n(3)+4cdot h_n(4)+5cdot h_n(5)+6cdot h_n(6),

schreiben, worin hn(k)displaystyle h_n(k) die relative Häufigkeit der Augenzahl kdisplaystyle k bezeichnet.

Begriff und Notation |

Das Konzept des Erwartungswertes geht auf Christiaan Huygens zurück. In einer Abhandlung über Glücksspiele von 1656, „Van rekeningh in spelen van geluck“ bezeichnet Huygens den erwarteten Gewinn eines Spiels als „het is my soo veel weerdt“. Frans van Schooten verwendete in seiner Übersetzung von Huygens' Text ins Lateinische den Begriff expectatio. Bernoulli übernahm in seiner Ars conjectandi den von van Schooten eingeführten Begriff in der Form valor expectationis.^[1]

Im westlichen Bereich wird für den Operator E⁡(X)displaystyle operatorname E left(Xright) verwendet, speziell in anglophoner Literatur E⁡[X]displaystyle operatorname E left[Xright].

In der russischsprachigen Literatur findet sich die Bezeichnung M(X)displaystyle M(X).^[2]

Die Bezeichnung μXdisplaystyle mu _X betont die Eigenschaft als nicht vom Zufall abhängiges erstes Moment. In der Physik findet die Bra-Ket-Notation Verwendung.^[3]
Insbesondere wird ⟨X⟩displaystyle langle Xrangle statt E⁡(X)displaystyle operatorname E (X) für den Erwartungswert einer Größe Xdisplaystyle X geschrieben.

Definitionen |

Ist eine Zufallsvariable diskret oder besitzt sie eine Dichte, so existieren die folgenden Formeln für den Erwartungswert.

Erwartungswert einer diskreten reellen Zufallsvariable |

Im reellen diskreten Fall errechnet sich der Erwartungswert als die Summe der Produkte aus den Wahrscheinlichkeiten jedes möglichen Ergebnisses des Experiments und den „Werten“ dieser Ergebnisse.

Ist Xdisplaystyle X eine reelle diskrete Zufallsvariable, die die Werte (xi)i∈Idisplaystyle (x_i)_iin I mit den jeweiligen Wahrscheinlichkeiten (pi)i∈Idisplaystyle (p_i)_iin I annimmt (mit Idisplaystyle I als abzählbarer Indexmenge), so errechnet sich der Erwartungswert E⁡(X)displaystyle operatorname E (X) im Falle der Existenz mit:

E⁡(X)=∑i∈Ixipi=∑i∈IxiP(X=xi)displaystyle operatorname E (X)=sum _iin Ix_ip_i=sum _iin Ix_iP(X=x_i)

Es ist zu beachten, dass dabei nichts über die Reihenfolge der Summation ausgesagt wird (siehe summierbare Familie).

Ist I=Ndisplaystyle I=mathbb N , so besitzt Xdisplaystyle X genau dann einen endlichen Erwartungswert E⁡(X)displaystyle operatorname E (X), wenn die Konvergenzbedingung

lima→∞∑i=1a|xi|pi=∑i=1∞|xi|pi<∞x_i erfüllt ist, d. h. die Reihe für den Erwartungswert absolut konvergent ist.

Für nichtnegative ganzzahlige Zufallsvariablen ist oft die folgende Eigenschaft hilfreich^[4]

E⁡(X)=∑i=1∞P(X≥i).displaystyle operatorname E (X)=sum limits _i=1^infty P(Xgeq i).

Erwartungswert einer reellen Zufallsvariable mit Dichtefunktion |

Der Erwartungswert balanciert die Wahrscheinlichkeitsmasse – hier die Masse unter der Dichte einer Beta(α,β)-Verteilung mit Erwartungswert α/(α+β).

Hat eine reelle Zufallsvariable Xdisplaystyle X eine Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion fdisplaystyle f, das heißt hat das Bildmaß PXdisplaystyle P^X diese Dichte bezüglich des Lebesgue-Maßes λdisplaystyle lambda , so berechnet sich der Erwartungswert im Falle der Existenz als

(1) E⁡(X)=∫Rxf(x)dλ(x).displaystyle displaystyle quad operatorname E (X)=int _mathbb R xf(x),mathrm d lambda (x).

In vielen Anwendungsfällen liegt (im Allgemeinen uneigentliche) Riemann-Integrierbarkeit vor und es gilt:

(2) E⁡(X)=∫−∞∞xf(x)dx.displaystyle displaystyle quad operatorname E (X)=int _-infty ^infty xf(x),mathrm d x.

Gleichwertig zu dieser Gleichung ist, wenn Fdisplaystyle F Verteilungsfunktion von Xdisplaystyle X ist:

(3) E⁡(X)=∫0∞(1−F(x))dx−∫−∞0F(x)dx.displaystyle displaystyle quad operatorname E (X)=int _0^infty (1-F(x)),mathrm d x-int _-infty ^0F(x),mathrm d x.

(2) und (3) sind unter der gemeinsamen Voraussetzung (fdisplaystyle f ist Dichtefunktion und Fdisplaystyle F ist Verteilungsfunktion von Xdisplaystyle X) äquivalent, was mit schulgemäßen Mitteln bewiesen werden kann.^[5]

Für nichtnegative Zufallsvariablen folgt daraus die wichtige Beziehung zur Zuverlässigkeitsfunktion R(t)=1−F(t)displaystyle R(t)=1-F(t)

E⁡(X)=∫0∞(1−F(t))dt=∫0∞R(t)dt.displaystyle operatorname E (X)=int _0^infty (1-F(t)),mathrm d t=int _0^infty R(t),mathrm d t.

Allgemeine Definition |

Der Erwartungswert wird entsprechend als das Integral bezüglich des Wahrscheinlichkeitsmaßes definiert: Ist Xdisplaystyle X eine P-integrierbare oder P-quasiintegrierbare Zufallsvariable von einem Wahrscheinlichkeitsraum (Ω,Σ,P)displaystyle (Omega ,Sigma ,P) nach (R¯,B)displaystyle (overline mathbb R ,mathcal B), wobei Bdisplaystyle mathcal B die Borelsche σ-Algebra über R¯:=R∪−∞,∞displaystyle overline mathbb R :=mathbb R cup -infty ,infty ist, so wird definiert

E⁡(X)=∫ΩXdP=∫ΩX(ω)dP(ω)displaystyle operatorname E (X)=int _Omega X,mathrm d P=int _Omega X(omega )mathrm d P(omega ),.

Die Zufallsvariable Xdisplaystyle X besitzt genau dann einen Erwartungswert, wenn sie quasiintegrierbar ist, also die Integrale

∫ΩX+(ω)dP(ω)displaystyle int _Omega X^+(omega ),mathrm d P(omega ) und ∫ΩX−(ω)dP(ω)displaystyle int _Omega X^-(omega ),mathrm d P(omega )

nicht beide unendlich sind, wobei X+displaystyle X^+ und X−displaystyle X^- den Positiv- sowie den Negativteil von Xdisplaystyle X bezeichnen. In diesem Fall kann E⁡(X)=∞displaystyle operatorname E (X)=infty oder E⁡(X)=−∞displaystyle operatorname E (X)=-infty gelten.

Der Erwartungswert ist genau dann endlich, wenn Xdisplaystyle X integrierbar ist, also die obigen Integrale über X+displaystyle X^+ und X−displaystyle X^- beide endlich sind. Dies ist äquivalent mit

∫Ω|X(ω)|dP(ω)<∞.X(omega )

In diesem Fall schreiben viele Autoren, der Erwartungswert existiere oder Xdisplaystyle X sei eine Zufallsvariable mit existierendem Erwartungswert, und schließen damit den Fall ∞displaystyle infty bzw. −∞displaystyle -infty aus.

Erwartungswert von zwei Zufallsvariablen mit gemeinsamer Dichtefunktion |

Haben die integrierbaren Zufallsvariablen Xdisplaystyle X und Ydisplaystyle Y eine gemeinsame Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion f(x,y)displaystyle f(x,y), so berechnet sich der Erwartungswert einer Funktion g(X,Y)displaystyle g(X,Y) von Xdisplaystyle X und Ydisplaystyle Y nach dem Satz von Fubini zu

E⁡(g(X,Y))=∫−∞∞∫−∞∞g(x,y)f(x,y)dxdydisplaystyle operatorname E (g(X,Y))=int _-infty ^infty int _-infty ^infty g(x,y)f(x,y),mathrm d x,mathrm d y

Der Erwartungswert von g(X,Y)displaystyle g(X,Y) ist nur dann endlich, wenn das Integral

∫−∞∞∫−∞∞|g(x,y)|f(x,y)dxdyf(x,y),mathrm d x,mathrm d y

endlich ist.

Insbesondere ist:

E⁡(X)=∫−∞∞∫−∞∞xf(x,y)dxdydisplaystyle operatorname E (X)=int _-infty ^infty int _-infty ^infty xf(x,y),mathrm d x,mathrm d y

Aus der Randdichte errechnet sich der Erwartungswert wie bei univariaten Verteilungen:

E⁡(X)=∫−∞∞xfX(x)dxdisplaystyle operatorname E (X)=int _-infty ^infty xf_X(x),mathrm d x

Dabei ist die Randdichte fX(x)displaystyle f_X(x) gegeben durch

fX(x)=∫−∞∞f(x,y)dydisplaystyle f_X(x)=int _-infty ^infty f(x,y),mathrm d y

Elementare Eigenschaften |

Linearität |

Der Erwartungswert ist linear, es gilt also für beliebige, nicht notwendigerweise unabhängige Zufallsvariablen X1,X2displaystyle X_1,X_2, dass

E⁡(aX1+bX2)=aE⁡(X1)+bE⁡(X2)displaystyle operatorname E (aX_1+bX_2)=aoperatorname E (X_1)+boperatorname E (X_2)

ist. Als Spezialfälle ergeben sich

E⁡(cX+d)=cE⁡(X)+ddisplaystyle operatorname E (cX+d)=coperatorname E (X)+d,

E⁡(cX)=cE⁡(X)displaystyle operatorname E (cX)=coperatorname E (X)

und

E⁡(d)=ddisplaystyle operatorname E (d)=d.

Die Linearität lässt sich auch auf endliche Summen erweitern:

E⁡(∑i=1nXi)=∑i=1nE⁡(Xi)displaystyle operatorname E left(sum _i=1^nX_iright)=sum _i=1^noperatorname E (X_i)

Die Linearität des Erwartungswertes folgt aus der Linearität des Integrals.

Monotonie |

Ist X≤Ydisplaystyle Xleq Y fast sicher, und existieren E⁡(X),E⁡(Y)displaystyle operatorname E (X),operatorname E (Y), so gilt

E⁡(X)≤E⁡(Y)displaystyle operatorname E (X)leq operatorname E (Y).

Wahrscheinlichkeiten als Erwartungswerte |

Wahrscheinlichkeiten von Ereignissen lassen sich auch über den Erwartungswert ausdrücken. Für jedes Ereignis Adisplaystyle A gilt

P⁡(A)=E⁡(χA)displaystyle operatorname P (A)=operatorname E (chi _A),,

wobei χAdisplaystyle chi _A die Indikatorfunktion von Adisplaystyle A ist.

Dieser Zusammenhang ist oft nützlich, etwa zum Beweis der Tschebyschow-Ungleichung.

Dreiecksungleichung |

Es gilt

|E⁡(X)|≤E⁡(|X|)X

und

E⁡(|X+Y|)≤E⁡(|X|)+E⁡(|Y|))leq operatorname E (

Beispiele |

Würfeln |

Eine Illustration der Konvergenz von Durchschnitten des Würfelns eines Würfels zum Erwartungswert von 3,5, wenn die Anzahl an Versuchen steigt.

Das Experiment sei ein Würfelwurf. Als Zufallsvariable Xdisplaystyle X betrachten wir die gewürfelte Augenzahl, wobei jede der Zahlen 1 bis 6 mit einer Wahrscheinlichkeit von jeweils 1/6 gewürfelt wird.

E⁡(X)=∑i=16i⋅16=3,5displaystyle operatorname E (X)=sum _i=1^6icdot frac 16=3,5

Wenn beispielsweise 1000-mal gewürfelt wird, man also das Zufallsexperiment 1000-mal wiederholt und die geworfenen Augenzahlen zusammenzählt und durch 1000 dividiert, ergibt sich mit hoher Wahrscheinlichkeit ein Wert in der Nähe von 3,5. Es ist jedoch unmöglich, diesen Wert mit einem einzigen Würfelwurf zu erzielen.

Sankt-Petersburg-Paradoxon |

Das Sankt-Petersburg-Paradoxon beschreibt ein Glücksspiel, dessen zufälliger Gewinn Xdisplaystyle X einen unendlichen Erwartungswert hat. Gemäß der klassischen Entscheidungstheorie, die auf der Erwartungswertregel X≽Y⇔E⁡(X)≥E⁡(Y)displaystyle Xsucccurlyeq YLeftrightarrow operatorname E (X)geq operatorname E (Y) basiert, sollte man daher einen beliebig hohen Einsatz riskieren. Da die Wahrscheinlichkeit für einen Verlust des Einsatzes aber 50 % beträgt, erscheint diese Empfehlung nicht rational. Eine Lösung des Paradoxons stellt die Verwendung einer logarithmischen Nutzenfunktion dar.

Zufallsvariable mit Dichte |

Gegeben ist die reelle Zufallsvariable Xdisplaystyle X mit der Dichtefunktion

f(x)={1x,3≤x≤3e,0,sonstdisplaystyle f(x)=begincasesfrac 1x,&3leq xleq 3mathrm e ,\&\0,&textsonstendcases

wobei edisplaystyle mathrm e die Eulersche Konstante bezeichnet.

Der Erwartungswert von Xdisplaystyle X berechnet sich als

E⁡(X)=∫−∞∞xf(x)dx=∫−∞3x⋅0dx+∫33ex⋅1xdx+∫3e∞x⋅0dx=0+∫33e1dx+0=[x]33e=3e−3=3(e−1).displaystyle beginalignedoperatorname E (X)&=int _-infty ^infty xf(x),mathrm d x=int _-infty ^3xcdot 0,mathrm d x+int _3^3mathrm e xcdot frac 1x,mathrm d x+int _3mathrm e ^infty xcdot 0,mathrm d x\&=0+int _3^3mathrm e 1,mathrm d x+0=[x]_3^3mathrm e =3mathrm e -3=3(mathrm e -1).endaligned

Allgemeine Definition |

Gegeben sei der Wahrscheinlichkeitsraum (Ω,Σ,P)displaystyle (Omega ,Sigma ,P) mit Ω=ω1,ω2,ω3displaystyle Omega =omega _1,omega _2,omega _3, Σdisplaystyle Sigma die Potenzmenge von Ωdisplaystyle Omega und P(ωi)=13displaystyle P(omega _i)=tfrac 13 für i=1,2,3displaystyle i=1,2,3. Der Erwartungswert der Zufallsvariablen X:Ω→Rdisplaystyle Xcolon Omega to mathbb R mit X(ω1)=X(ω2)=1displaystyle X(omega _1)=X(omega _2)=1 und X(ω3)=2displaystyle X(omega _3)=2 ist

E⁡(X)=∫ΩXdP=X(ω1)P(ω1)+X(ω2)P(ω2)+X(ω3)P(ω3)=1⋅13+1⋅13+2⋅13=43displaystyle operatorname E (X)=int _Omega X,mathrm d P=X(omega _1)P(omega _1)+X(omega _2)P(omega _2)+X(omega _3)P(omega _3)=1cdot frac 13+1cdot frac 13+2cdot frac 13=frac 43

Da Xdisplaystyle X eine diskrete Zufallsvariable ist mit P(X=1)=P(ω1,ω2)=23displaystyle P(X=1)=P(omega _1,omega _2)=tfrac 23 und P(X=2)=P(ω3)=13displaystyle P(X=2)=P(omega _3)=tfrac 13, kann der Erwartungswert alternativ auch berechnet werden als

E⁡(X)=1⋅P(X=1)+2⋅P(X=2)=1⋅23+2⋅13=43displaystyle operatorname E (X)=1cdot P(X=1)+2cdot P(X=2)=1cdot frac 23+2cdot frac 13=frac 43

Weitere Eigenschaften |

Sigma-Additivität |

Sind alle Zufallsvariablen (Xi)i∈Ndisplaystyle (X_i)_iin mathbb N fast sicher nichtnegativ, so lässt sich die endliche Additivität sogar zur σdisplaystyle sigma -Additivität erweitern:

E⁡(∑i=1∞Xi)=∑i=1∞E⁡(Xi)displaystyle operatorname E left(sum _i=1^infty X_iright)=sum _i=1^infty operatorname E (X_i)

Erwartungswert des Produkts von n stochastisch unabhängigen Zufallsvariablen |

Wenn die Zufallsvariablen Xidisplaystyle X_i stochastisch voneinander unabhängig und integrierbar sind, gilt:

E(∏i=1nXi)=∏i=1nE⁡(Xi)displaystyle operatorname E !left(prod _i=1^nX_iright)=prod _i=1^noperatorname E (X_i)

insbesondere auch

E(XiXj)=E(Xi)⋅E(Xj)displaystyle operatorname E !left(X_iX_jright)=operatorname E !left(X_iright)cdot operatorname E !left(X_jright) für i≠jdisplaystyle ineq j

Erwartungswert des Produkts von nicht stochastisch unabhängigen Zufallsvariablen |

Falls die Zufallsvariablen Xdisplaystyle X und Ydisplaystyle Y nicht stochastisch unabhängig sind, gilt für deren Produkt:

E(XY)=E(X)E(Y)+Cov(X,Y)displaystyle operatorname E !left(XYright)=operatorname E !left(Xright)operatorname E !left(Yright)+operatorname Cov !left(X,Yright)

Dabei ist Cov(X,Y)displaystyle operatorname Cov !left(X,Yright) die Kovarianz zwischen Xdisplaystyle X und Ydisplaystyle Y.

Erwartungswert einer zusammengesetzten Zufallsvariable |

Ist Ydisplaystyle Y eine zusammengesetzte Zufallsvariable, sprich sind N,X1,X2,…displaystyle N,X_1,X_2,dots unabhängige Zufallsvariablen und sind die Xidisplaystyle X_i identisch verteilt und ist Ndisplaystyle N auf N0displaystyle mathbb N _0 definiert, so lässt sich Ydisplaystyle Y darstellen als

Y:=∑i=1NXidisplaystyle Y:=sum _i=1^NX_i.

Existieren die ersten Momente von N,X1,X2,…displaystyle N,X_1,X_2,dots , so gilt

E⁡(Y)=E⁡(N)E⁡(X1)displaystyle operatorname E (Y)=operatorname E (N)operatorname E (X_1).

Diese Aussage ist auch als Formel von Wald bekannt. Sie wird z. B. in der Schadensversicherungsmathematik benutzt.

Monotone Konvergenz |

Sind die nichtnegativen Zufallsvariablen (Xi)i∈Ndisplaystyle (X_i)_iin mathbb N fast sicher punktweise monoton wachsend und konvergieren fast sicher gegen eine weitere Zufallsvariable Xdisplaystyle X, so gilt

limi→∞E⁡(Xi)=E⁡(X)displaystyle lim _ito infty operatorname E (X_i)=operatorname E (X).

Dies ist der Satz von der monotonen Konvergenz in der wahrscheinlichkeitstheoretischen Formulierung.

Berechnung mittels der kumulantenerzeugenden Funktion |

Die kumulantenerzeugende Funktion einer Zufallsvariable ist definiert als

gX(t)=ln⁡E⁡(etX)displaystyle g_X(t)=ln operatorname E (e^tX).

Wird sie abgeleitet und an der Stelle 0 ausgewertet, so ist der Erwartungswert:

E⁡(X)=gX′(0)displaystyle operatorname E (X)=g'_X(0).

Die erste Kumulante ist also der Erwartungswert.

Berechnung mittels der charakteristischen Funktion |

Die charakteristische Funktion einer Zufallsvariable Xdisplaystyle X ist definiert als φX(t):=E⁡(eitX)displaystyle varphi _X(t):=operatorname E (e^itX).
Mit ihrer Hilfe lässt sich durch Ableiten der Erwartungswert der Zufallsvariable bestimmen:

E⁡(X)=φX′(0)idisplaystyle operatorname E (X)=frac varphi _X'(0)mathrm i .

Berechnung mittels der momenterzeugenden Funktion |

Ähnlich wie die charakteristische Funktion ist die momenterzeugende Funktion definiert als

MX(t):=E⁡(etX)displaystyle M_X(t):=operatorname E left(e^tXright).

Auch hier lässt sich der Erwartungswert einfach bestimmen als

E⁡(X)=MX′(0)displaystyle operatorname E (X)=M_X'(0).

Dies folgt daraus, dass der Erwartungswert das erste Moment ist und die k-ten Ableitungen der momenterzeugenden Funktion an der 0 genau die k-ten Momente sind.

Berechnung mittels der wahrscheinlichkeitserzeugenden Funktion |

Wenn Xdisplaystyle X nur natürliche Zahlen als Werte annimmt, lässt sich der Erwartungswert für auch mithilfe der wahrscheinlichkeitserzeugenden Funktion

mX(t):=E⁡(tX)displaystyle m_X(t):=operatorname E left(t^Xright).

berechnen. Es gilt dann

E⁡[X]=limt↑1mX′(t)displaystyle operatorname E left[Xright]=lim _tuparrow 1m_X'(t),

falls der linksseitige Grenzwert existiert.

Beste Approximation |

Ist Xdisplaystyle X eine Zufallsgröße auf einem Wahrscheinlichkeitsraum (Ω,Σ,P)displaystyle (Omega ,Sigma ,P), so beschreibt E⁡(X)displaystyle operatorname E left(Xright) die beste Approximation an Xdisplaystyle X im Sinne der Minimierung von E⁡((X−a)2)displaystyle operatorname E left(left(X-aright)^2right), wobei a eine reelle Konstante ist. Dies folgt aus dem Satz über die beste Approximation, da

⟨X−E⁡(X),b⟩=0displaystyle langle X-operatorname E (X),brangle =0

für alle konstanten bdisplaystyle b ist, wobei ⟨.,.⟩displaystyle langle .,.rangle das L2displaystyle L^2-Standardnormalskalarprodukt bezeichne. Diese Auffassung des Erwartungswertes macht die Definition der Varianz als minimaler mittlerer quadratischer Abstand sinnvoll, siehe auch Fréchet-Prinzip.

Erwartungswerte von Funktionen von Zufallsvariablen |

Wenn Y=g(X)displaystyle Y=g(X) wieder eine Zufallsvariable ist, so kann der Erwartungswert von Ydisplaystyle Y, statt mittels der Definition, auch mittels der Formel bestimmt werden:

E⁡(Y)=E⁡(g(X))=∫−∞∞g(x)fX(x)dxdisplaystyle operatorname E (Y)=operatorname E (g(X))=int _-infty ^infty g(x)f_X(x),mathrm d x

Auch in diesem Fall existiert der Erwartungswert nur, wenn

∫−∞∞|g(x)|fX(x)dxf_X(x),mathrm d x

konvergiert.

Bei einer diskreten Zufallsvariablen wird eine Summe verwendet:

E⁡(Y)=E⁡(g(X))=∑ig(xi)pX(xi).displaystyle operatorname E (Y)=operatorname E (g(X))=sum _ig(x_i)p_X(x_i).

Ist die Summe nicht endlich, dann muss die Reihe absolut konvergieren, damit der Erwartungswert existiert.

Verwandte Konzepte und Verallgemeinerungen |

Lageparameter |

Wird der Erwartungswert als Schwerpunkt der Verteilung einer Zufallsvariable aufgefasst, so handelt es sich um einen Lageparameter. Dieser gibt an, wo sich der Hauptteil der Verteilung befindet. Weitere Lageparameter sind

1. 
   Der Modus: Der Modus gibt an, an welcher Stelle die Verteilung ein Maximum hat, sprich bei diskreten Zufallsvariablen die Ausprägung mit der größten Wahrscheinlichkeit und bei stetigen Zufallsvariable die Maximastellen der Dichtefunktion. Der Modus existiert zwar im Gegensatz zum Erwartungswert immer, muss aber nicht eindeutig sein. Beispiele für nichteindeutige Modi sind bimodale Verteilungen.


2. Der Median ist ein weiterer gebräuchlicher Lageparameter. Er gibt an, welcher Wert auf der x-Achse die Wahrscheinlichkeitsdichte so trennt, dass links und rechts des Medians jeweils die Hälfte der Wahrscheinlichkeit anzutreffen ist. Auch der Median existiert immer, muss aber (je nach Definition) nicht eindeutig sein.

Momente |

Wird der Erwartungswert als erstes Moment aufgefasst, so ist er eng verwandt mit den Momenten höherer Ordnung. Da diese wiederum durch den Erwartungswert in Verknüpfung mit einer Funktion g(⋅)displaystyle g(cdot ) definiert werden, sind sie gleichsam ein Spezialfall. Einige der bekannten Momente sind:

• Die Varianz: Zentriertes zweites Moment, g(X)=(X−μX)2displaystyle g(X)=(X-mu _X)^2. Hierbei ist μXdisplaystyle mu _X der Erwartungswert.


• Die Schiefe: Zentriertes drittes Moment, normiert auf die dritte Potenz der Standardabweichung σXdisplaystyle sigma _X. Es ist g(X)=(X−μX)3σX3displaystyle g(X)=frac (X-mu _X)^3sigma _X^3.


• Die Wölbung: Zentriertes viertes Moment, normiert auf σX4displaystyle sigma _X^4. Es ist g(X)=(X−μX)4σX4displaystyle g(X)=frac (X-mu _X)^4sigma _X^4.

Bedingter Erwartungswert |

Der bedingte Erwartungswert ist eine Verallgemeinerung des Erwartungswertes auf den Fall, dass gewisse Ausgänge des Zufallsexperiments bereits bekannt sind. Damit lassen sich bedingte Wahrscheinlichkeiten verallgemeinern und auch die bedingte Varianz definieren. Der bedingte Erwartungswert spielt eine wichtige Rolle in der Theorie der stochastischen Prozesse.

Quantenmechanischer Erwartungswert |

Ist ψ(r,t)=⟨r|ψ(t)⟩psi (t)rangle die Wellenfunktion eines Teilchens in einem bestimmten Zustand |ψ(t)⟩psi (t)rangle und ist O^displaystyle hat O ein Operator, so ist

⟨O^⟩|ψ(t)⟩:=⟨ψ(t)|O^|ψ(t)⟩=∫M2dnrdnr′ψ⋆(r,t)⟨r|O^|r′⟩ψ(r′,t)hat O

der quantenmechanische Erwartungswert von O^displaystyle hat O im Zustand |ψ(t)⟩psi (t)rangle .
Mdisplaystyle M ist hierbei der Ortsraum, in dem sich das Teilchen bewegt, ndisplaystyle n ist die Dimension von Mdisplaystyle M, und ein hochgestellter Stern steht für komplexe Konjugation.

Lässt sich O^displaystyle hat O als formale Potenzreihe O(r^,p^)displaystyle O(hat r,hat p) schreiben (und das ist oft so), so wird die Formel verwendet

⟨O^⟩ψ=∫Mdnrψ⋆(r,t)O(r,ℏi∇r)ψ(r,t).displaystyle langle hat Orangle _psi =int _Mmathrm d ^nr,psi ^star (r,t)O(r,frac hbar inabla _r)psi (r,t).

Der Index an der Erwartungswertsklammer wird nicht nur wie hier abgekürzt, sondern manchmal auch ganz weggelassen.

Beispiel

Der Erwartungswert des Aufenthaltsorts in Ortsdarstellung ist

⟨r^⟩=∫Mdnrψ⋆(r,t)rψ(r,t)=∫Mdnrr|ψ(r,t)|2=∫Mdnrrf(r,t).displaystyle langle hat rrangle =int _Mmathrm d ^nr,psi ^star (r,t)rpsi (r,t)=int _Mmathrm d ^nr,r

Der Erwartungswert des Aufenthaltsorts in Impulsdarstellung ist

⟨r^⟩=∫MdnpΨ⋆(p,t)iℏ∇→pΨ(p,t),displaystyle langle hat rrangle =int _Mmathrm d ^np,Psi ^star (p,t)ihbar vec nabla _pPsi (p,t),

wobei wir die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion der Quantenmechanik im Ortsraum identifiziert haben.

Erwartungswert von Matrizen und Vektoren |

Sei Xdisplaystyle mathbf X eine stochastische m×ndisplaystyle mtimes n-Matrix, mit den stochastischen Variablen (Xi,j)displaystyle (X_i,j) als Elementen, dann ist der Erwartungswert von Xdisplaystyle mathbf X definiert als:

E⁡(X)=E⁡(X1,1X1,2⋯X1,nX2,1X2,2⋯X2,n⋮⋮⋱⋮Xm,1Xm,2⋯Xm,n)=(E⁡(X1,1)E⁡(X1,2)⋯E⁡(X1,n)E⁡(X2,1)E⁡(X2,2)⋯E⁡(X2,n)⋮⋮⋱⋮E⁡(Xm,1)E⁡(Xm,2)⋯E⁡(Xm,n))displaystyle operatorname E left(mathbf X right)=operatorname E beginpmatrixX_1,1&X_1,2&cdots &X_1,n\X_2,1&X_2,2&cdots &X_2,n\vdots &vdots &ddots &vdots \X_m,1&X_m,2&cdots &X_m,nendpmatrix=beginpmatrixoperatorname E (X_1,1)&operatorname E (X_1,2)&cdots &operatorname E (X_1,n)\operatorname E (X_2,1)&operatorname E (X_2,2)&cdots &operatorname E (X_2,n)\vdots &vdots &ddots &vdots \operatorname E (X_m,1)&operatorname E (X_m,2)&cdots &operatorname E (X_m,n)endpmatrix.

Falls ein n×1displaystyle ntimes 1-Zufallsvektor Xdisplaystyle mathbf X vorliegt gilt:

E⁡(X)=E⁡(X1X2⋮Xn)=(E⁡(X1)E⁡(X2)⋮E⁡(Xn))=(μ1μ2⋮μn)=μdisplaystyle operatorname E (mathbf X )=operatorname E beginpmatrixX_1\X_2\vdots \X_nendpmatrix=beginpmatrixoperatorname E (X_1)\operatorname E (X_2)\vdots \operatorname E (X_n)endpmatrix=beginpmatrixmu _1\mu _2\vdots \mu _nendpmatrix=boldsymbol mu .

Siehe auch |

• Erwartungsnutzenfunktion


• Erwartungswertregel

Literatur |

• 
  Krishna B. Athreya, Soumendra N. Lahiri: Measure Theory and Probability Theory (= Springer Texts in Statistics). Springer Verlag, New York 2006, ISBN 0-387-32903-X (MR2247694). 
  


• 
  Heinz Bauer: Wahrscheinlichkeitstheorie (= De Gruyter Lehrbuch). 5., durchgesehene und verbesserte Auflage. de Gruyter, Berlin, New York 2002, ISBN 3-11-017236-4 (MR1902050). 
  


• 
  Kai Lai Chung: A Course in Probability Theory. Academic Press, Inc., San Diego (u. a.) 2001, ISBN 0-12-174151-6 (R1796326). 
  


• 
  Walter Greiner: Quantenmechanik. 6. überarb. und erw. Auflage. Verlag Harri Deutsch, Zürich [u. a.] 2005, ISBN 3-8171-1765-5. 
  


• 
  Erich Härtter: Wahrscheinlichkeitsrechnung für Wirtschafts- und Naturwissenschaftler. 10. Auflage. Vandenhoeck & Ruprecht, Göttingen 1974, ISBN 3-525-03114-9. 
  


• 
  Norbert Henze: Stochastik für Einsteiger. 10. Auflage. Springer Spektrum, Wiesbaden 2013, ISBN 978-3-658-03076-6, doi:10.1007/978-3-658-03077-3. 
  


• 
  Achim Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 3., überarbeitete und ergänzte Auflage. Springer Spektrum, Berlin, Heidelberg 2013, ISBN 978-3-642-36017-6, doi:10.1007/978-3-642-36018-6. 
  


• 
  Norbert Kusolitsch: Maß- und Wahrscheinlichkeitstheorie. Eine Einführung (= Springer-Lehrbuch). 2., überarbeitete und erweiterte Auflage. Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg 2014, ISBN 978-3-642-45386-1. 
  


• 
  M. Loève: Probability Theory I (= Graduate Texts in Mathematics. Band 45). 4. Auflage. Springer Verlag, Berlin, Heidelberg 1977, ISBN 3-540-90210-4 (MR0651017). 
  


• 
  Vladimir Spokoiny, Thorsten Dickhaus: Basics of Modern Mathematical Statistics (= Springer Texts in Statistics). Springer-Verlag, Heidelberg, New York, Dordrecht, London 2015, ISBN 978-3-642-39908-4 (MR3289985). 
  

Weblinks |

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Einzelnachweise |

1. 
   ↑ Norbert Henze: Stochastik für Einsteiger. Vieweg+Teubner, 2008. ISBN 978-3-8348-9465-6. S. 79.
   


2. 
   ↑ Siehe etwa A. N. Širjaev: Wahrscheinlichkeit 1988, S. 52 ff !
   


3. 
   ↑ John Aldrich: Earliest Uses of Symbols in Probability and Statistics. online
   


4. 
   ↑ Ross, S. M.:Introduction to probability models, Academic Press, 2007, 9. Auflage, S. 143, ISBN 0-12-598062-0.
   


5. 
   ↑ H. Wirths : Der Erwartungswert - Skizzen zur Begriffsentwicklung von Klasse 8 bis 13. In : Mathematik in der Schule 1995/Heft 6, S. 330–343.