დისპერსია სექციების სია განმარტება | თვისებები | მაგალითი | იხილეთ აგრეთვე | ლიტერატურა | რესურსები ინტერნეტში | სანავიგაციო მენიუმათემატიკა, მარტივად ამოხსნის ხელოვნება
ალბათობის თეორიამათემატიკური სტატისტიკა
ალბათობის თეორიასამათემატიკურ სტატისტიკაშიშემთხვევითი სიდიდისმათემატიკური ლოდინიდანცენტრალურ მომენტსლოდინისაშუალო სტანდარტული გადახრაათანაბრად განაწილებულიგანაწილების სიმკვრივეს
(function()var node=document.getElementById("mw-dismissablenotice-anonplace");if(node)node.outerHTML="u003Cdiv class="mw-dismissable-notice"u003Eu003Cdiv class="mw-dismissable-notice-close"u003E[u003Ca tabindex="0" role="button"u003Eდამალვაu003C/au003E]u003C/divu003Eu003Cdiv class="mw-dismissable-notice-body"u003Eu003Cdiv id="localNotice" lang="ka" dir="ltr"u003Eu003Cdiv class="layout plainlinks" align="center"u003Eდაუკავშირდით ქართულ ვიკიპედიას u003Ca href="https://www.facebook.com/georgianwikipedia" rel="nofollow"u003Eu003Cimg alt="Facebook icon.svg" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1b/Facebook_icon.svg/14px-Facebook_icon.svg.png" decoding="async" width="14" height="14" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1b/Facebook_icon.svg/21px-Facebook_icon.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1b/Facebook_icon.svg/28px-Facebook_icon.svg.png 2x" data-file-width="256" data-file-height="256" /u003Eu003C/au003E u003Cbu003Eu003Ca rel="nofollow" class="external text" href="https://www.facebook.com/georgianwikipedia"u003EFacebooku003C/au003Eu003C/bu003E-ის ოფიციალურ გვერდზე!nu003Cpu003Eu003Cbr /u003Enu003C/pu003Enu003Ctable class="messagebox standard-talk" style="font-size:100%; text-align:center; border:3px solid blue; background-color:white;"u003Enu003Ctbodyu003Eu003Ctru003Enu003Ctdu003Eu003Ca href="/wiki/%E1%83%95%E1%83%98%E1%83%99%E1%83%98%E1%83%9E%E1%83%94%E1%83%93%E1%83%98%E1%83%90:%E1%83%94%E1%83%A0%E1%83%9D%E1%83%95%E1%83%9C%E1%83%A3%E1%83%9A%E1%83%98_%E1%83%9B%E1%83%9C%E1%83%98%E1%83%A8%E1%83%95%E1%83%9C%E1%83%94%E1%83%9A%E1%83%9D%E1%83%91%E1%83%98%E1%83%A1_%E1%83%99%E1%83%90%E1%83%A2%E1%83%94%E1%83%92%E1%83%9D%E1%83%A0%E1%83%98%E1%83%98%E1%83%A1_%E1%83%99%E1%83%A3%E1%83%9A%E1%83%A2%E1%83%A3%E1%83%A0%E1%83%98%E1%83%A1_%E1%83%A3%E1%83%AB%E1%83%A0%E1%83%90%E1%83%95%E1%83%98_%E1%83%AB%E1%83%94%E1%83%92%E1%83%9A%E1%83%94%E1%83%91%E1%83%98" title="ვიკიპედია:ეროვნული მნიშვნელობის კატეგორიის კულტურის უძრავი ძეგლები"u003Eu003Cimg alt="Khevi, Georgia — View of Gergeti Trinity Church.jpg" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/5f/Khevi%2C_Georgia_%E2%80%94_View_of_Gergeti_Trinity_Church.jpg/100px-Khevi%2C_Georgia_%E2%80%94_View_of_Gergeti_Trinity_Church.jpg" decoding="async" width="100" height="57" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/5f/Khevi%2C_Georgia_%E2%80%94_View_of_Gergeti_Trinity_Church.jpg/150px-Khevi%2C_Georgia_%E2%80%94_View_of_Gergeti_Trinity_Church.jpg 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/5f/Khevi%2C_Georgia_%E2%80%94_View_of_Gergeti_Trinity_Church.jpg/200px-Khevi%2C_Georgia_%E2%80%94_View_of_Gergeti_Trinity_Church.jpg 2x" data-file-width="900" data-file-height="510" /u003Eu003C/au003Enu003C/tdu003Enu003Ctd width="100%"u003Eu003Cbigu003Eu003Cbigu003E u003Cbu003Eu003Ca href="/wiki/%E1%83%95%E1%83%98%E1%83%99%E1%83%98%E1%83%9E%E1%83%94%E1%83%93%E1%83%98%E1%83%90:%E1%83%94%E1%83%A0%E1%83%9D%E1%83%95%E1%83%9C%E1%83%A3%E1%83%9A%E1%83%98_%E1%83%9B%E1%83%9C%E1%83%98%E1%83%A8%E1%83%95%E1%83%9C%E1%83%94%E1%83%9A%E1%83%9D%E1%83%91%E1%83%98%E1%83%A1_%E1%83%99%E1%83%90%E1%83%A2%E1%83%94%E1%83%92%E1%83%9D%E1%83%A0%E1%83%98%E1%83%98%E1%83%A1_%E1%83%99%E1%83%A3%E1%83%9A%E1%83%A2%E1%83%A3%E1%83%A0%E1%83%98%E1%83%A1_%E1%83%A3%E1%83%AB%E1%83%A0%E1%83%90%E1%83%95%E1%83%98_%E1%83%AB%E1%83%94%E1%83%92%E1%83%9A%E1%83%94%E1%83%91%E1%83%98" title="ვიკიპედია:ეროვნული მნიშვნელობის კატეგორიის კულტურის უძრავი ძეგლები"u003Eეროვნული მნიშვნელობის კატეგორიის კულტურის უძრავი ძეგლებისu003C/au003E კონკურსი დაიწყო! ჩაერთეთ და მოიგეთ პრიზები!u003C/bu003Eu003C/bigu003Eu003C/bigu003Enu003C/tdu003Eu003C/tru003Eu003C/tbodyu003Eu003C/tableu003Enu003C/divu003Eu003C/divu003Eu003C/divu003Eu003C/divu003E";());
დისპერსია
Jump to navigation
Jump to search
ალბათობის თეორიასა და მათემატიკურ სტატისტიკაში დისპერსია წარმოადგენს მონაცემთა გაფანტულობის საზომს. შემთხვევითი სიდიდის დისპერსია ეწოდება რიცხვს, რომელიც გამოხატავს, თუ რამდენადაა გაფანტული შემთხვევითი სიდიდის მნიშვნელობები მისი მათემატიკური ლოდინიდან. დისპერსია წარმოადგენს მეორე რიგის ცენტრალურ მომენტს.
სექციების სია
1 განმარტება
2 თვისებები
3 მაგალითი
4 იხილეთ აგრეთვე
5 ლიტერატურა
6 რესურსები ინტერნეტში
განმარტება |
თუ Xdisplaystyle scriptstyle X შემთხვევითი სიდიდეა, მაშინ მისი დისპერსია აღინიშნება, როგორც D(X)displaystyle scriptstyle D(X) და
- D(X)=E[(X−μ)2].displaystyle beginalignedoperatorname D (X)&=operatorname E [(X-mu )^2],.endaligned
![displaystyle beginalignedoperatorname D (X)&=operatorname E [(X-mu )^2],.endaligned](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9eb5f64fd18fd9e8b716d65a101dd5dd9fac3a5a)
სადაც μ=E[X]displaystyle mu =E[X] არის Xdisplaystyle scriptstyle X შემთხვევითი სიდიდის ლოდინი. შემდგომი მარტივი გარდაქმნებით დისპერსია შესაძლებელია შემდეგ სახეზე იქნას მიყვანილი:
![displaystyle mu =E[X]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b8d5d31fd9dc7cd9849f1a07a72e82420448133)
- D(X)=E[(X−μ)2]=E[X2−2μX+μ2]=E[X2]−2μE[X]+μ2=E[X2]−2μ2+μ2=E[X2]−μ2=E[X2]−(E[X])2.displaystyle beginalignedoperatorname D (X)&=operatorname E [(X-mu )^2]\&=operatorname E [X^2-2mu X+mu ^2]\&=operatorname E [X^2]-2mu ,operatorname E [X]+mu ^2\&=operatorname E [X^2]-2mu ^2+mu ^2\&=operatorname E [X^2]-mu ^2\&=operatorname E [X^2]-(operatorname E [X])^2.endaligned
![displaystyle beginalignedoperatorname D (X)&=operatorname E [(X-mu )^2]\&=operatorname E [X^2-2mu X+mu ^2]\&=operatorname E [X^2]-2mu ,operatorname E [X]+mu ^2\&=operatorname E [X^2]-2mu ^2+mu ^2\&=operatorname E [X^2]-mu ^2\&=operatorname E [X^2]-(operatorname E [X])^2.endaligned](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/11a09da387579d66bee4693e23651b1eb6d05bf9)
როგორც წესი, დისპერსია აღინიშნება, როგორც σX2displaystyle scriptstyle sigma _X^2 ან, თუ ცხადია, რომელი შემთხვევითი სიდიდის დისპერსიაზეა ლაპარაკი, უბრალოდ σ2displaystyle scriptstyle sigma ^2 (სიგმა კვადრატი), სადაც σdisplaystyle scriptstyle sigma საშუალო სტანდარტული გადახრაა. დასავლურ ლიტერატურაში მიღებულია ტერმინი „ვარიაცია“ და შემდეგი ფორმალური ჩაწერა: Var(X)displaystyle operatorname Var (X).
თვისებები |
- დისპერსია ყოველთვის არაუარყოფითია: D[X]⩾0;displaystyle D[X]geqslant 0;
- თუ შემთხვევითი სიდიდის დისპერსია სასრულია, მაშინ მისი მათემატიკური ლოდინიც სასრულია;
- თუ შემთხვევითი სიდიდე მუდმივია, მაშინ მისი დისპერსია ნულის ტოლია: D[a]=0.displaystyle D[a]=0. სამართლიანია შებრუნებულიც: თუ D[X]=0,displaystyle D[X]=0, მაშინ X=E[X]displaystyle X=E[X] თითქმის ყველგან;
- ორი შემთხვევით სიდიდის ჯამის დისპერსია შემდეგნაირად გამოითვლება:
D[X+Y]=D[X]+D[Y]+2cov(X,Y)displaystyle !D[X+Y]=D[X]+D[Y]+2,textcov(X,Y), სადაც cov(X,Y)displaystyle !textcov(X,Y) — ამ შემთხვევით სიდიდეთა კოვარიაციაა;
- ზოგადად, ნებისმიერი რაოდენობა შემთხვევითი სიდიდეების წრფივი კომბინაციისთვის სამართლიანია შემდეგი ტოლობა:
D[∑i=1nciXi]=∑i=1nci2D[Xi]+2∑1⩽i<j⩽ncicjcov(Xi,Xj)displaystyle !Dleft[sum _i=1^nc_iX_iright]=sum _i=1^nc_i^2D[X_i]+2sum _1leqslant i<jleqslant nc_ic_j,textcov(X_i,X_j), სადაც ci∈Rdisplaystyle c_iin mathbb R ;
![displaystyle D[X]geqslant 0;](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d40705c976a05f84c1f30e544e3d7073d590b185)
![displaystyle D[a]=0.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8aafb40239241fc7844847d6356203bc99c0b130)
![displaystyle D[X]=0,](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca6d19bb98a50035c7a0ba2cdfdd02dfe18b405b)
![displaystyle X=E[X]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a451efbfb7c744e575ef4df4b723f3758bff119)
![displaystyle !D[X+Y]=D[X]+D[Y]+2,textcov(X,Y)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d28e00bce1c6ba2c7dd12f24b2878c0a8fd0df11)
![displaystyle !Dleft[sum _i=1^nc_iX_iright]=sum _i=1^nc_i^2D[X_i]+2sum _1leqslant i<jleqslant nc_ic_j,textcov(X_i,X_j)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/128350c8df2159e1ab0316ef3937f058ae283e24)
- კერძოდ, D[X1+...+Xn]=D[X1]+...+D[Xn]displaystyle displaystyle D[X_1+...+X_n]=D[X_1]+...+D[X_n], თუ შემთხვევითი სიდიდეები X1,...,Xndisplaystyle displaystyle X_1,...,X_n დამოუკიდებლებია (ამ შემთხვევაში მათი კოვარიაცია ნულის ტოლია);
![displaystyle displaystyle D[X_1+...+X_n]=D[X_1]+...+D[X_n]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f331b32902a8ff187372ee6fe4c7eba53883a83)
- D[aX]=a2D[X];displaystyle Dleft[aXright]=a^2D[X];
- D[−X]=D[X];displaystyle Dleft[-Xright]=D[X];
- D[X+b]=D[X].displaystyle Dleft[X+bright]=D[X].
![displaystyle Dleft[aXright]=a^2D[X];](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3ea509bac4ed988b4178f1a212492200442e9107)
![displaystyle Dleft[-Xright]=D[X];](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/159333e7d899fb45910b6957d61fd2e9c4085c2b)
![displaystyle Dleft[X+bright]=D[X].](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/65543f897da5489571ca4899418c6a0cfac9b3be)
მაგალითი |
ვთქვათ, მოცემულია [0,1]displaystyle displaystyle [0,1] სეგმენტზე თანაბრად განაწილებული შემთხვევითი სიდიდე Xdisplaystyle displaystyle X, ანუ განაწილების სიმკვრივეს აქვს შემდეგი სახე:
![displaystyle displaystyle [0,1]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f3c46b95603c311eaa541789bf49b6666d7f48f)
- fX(x)={1,x∈[0,1]0,x∉[0,1].{displaystyle f_X(x)=leftbeginmatrix1,&xin [0,1]\0,&xnot in [0,1].endmatrixright.
![{displaystyle f_X(x)=leftbeginmatrix1,&xin [0,1]\0,&xnot in [0,1].endmatrixright.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cfe7c0979d6e6a936e73de86914b564f78c5db16)
გამოვთვალოთ ამ შემთხვევითი სიდიდის დისპერსია.
- E[X2]=∫01x2dx=x33|01=13,displaystyle Eleft[X^2right]=int limits _0^1!x^2,dx=left.frac x^33rightvert _0^1=frac 13,
- E[X]=∫01xdx=x22|01=12.displaystyle Eleft[Xright]=int limits _0^1!x,dx=left.frac x^22rightvert _0^1=frac 12.
![displaystyle Eleft[X^2right]=int limits _0^1!x^2,dx=left.frac x^33rightvert _0^1=frac 13,](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97a7cc014ac38031eff4e7009d393ff1dfe67602)
![displaystyle Eleft[Xright]=int limits _0^1!x,dx=left.frac x^22rightvert _0^1=frac 12.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a2bee9ebcb8b150bff7dbc6d2b85f5b075022941)
საბოლოოდ:
- D[X]=E[X2]−(E[X])2=13−(12)2=112.displaystyle D[X]=Eleft[X^2right]-(E[X])^2=frac 13-left(frac 12right)^2=frac 112.
![displaystyle D[X]=Eleft[X^2right]-(E[X])^2=frac 13-left(frac 12right)^2=frac 112.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/77bd10b05b6ba055f2eee3d65abb06f381522f8d)
იხილეთ აგრეთვე |
- შერჩევითი დისპერსია
- საშუალო სტანდარტული გადახრა
- მომენტი
- კოვარიაცია
- მათემატიკური ლოდინი
ლიტერატურა |
ე. ნადარაია, რ. აბსავა, მ. ფაცაცია, ალბათობის თეორია – თსუ, 2005
Ширяев А.Н, Вероятность - Наука, Москва, 1989 ISBN 5-02-013955-6
რესურსები ინტერნეტში |
- მათემატიკა, მარტივად ამოხსნის ხელოვნება
(RLQ=window.RLQ||[]).push(function()mw.log.warn("Gadget "ReferenceTooltips" was not loaded. Please migrate it to use ResourceLoader. See u003Chttps://ka.wikipedia.org/wiki/%E1%83%A1%E1%83%9E%E1%83%94%E1%83%AA%E1%83%98%E1%83%90%E1%83%9A%E1%83%A3%E1%83%A0%E1%83%98:Gadgetsu003E."););
კატეგორია:
- ალბათობის თეორია
- მათემატიკური სტატისტიკა
(RLQ=window.RLQ||[]).push(function()mw.config.set("wgPageParseReport":"limitreport":"cputime":"0.052","walltime":"0.137","ppvisitednodes":"value":180,"limit":1000000,"ppgeneratednodes":"value":0,"limit":1500000,"postexpandincludesize":"value":0,"limit":2097152,"templateargumentsize":"value":0,"limit":2097152,"expansiondepth":"value":2,"limit":40,"expensivefunctioncount":"value":0,"limit":500,"unstrip-depth":"value":0,"limit":20,"unstrip-size":"value":1044,"limit":5000000,"entityaccesscount":"value":0,"limit":400,"timingprofile":["100.00% 0.000 1 -total"],"cachereport":"origin":"mw1267","timestamp":"20190714014028","ttl":2592000,"transientcontent":false););"@context":"https://schema.org","@type":"Article","name":"u10d3u10d8u10e1u10deu10d4u10e0u10e1u10d8u10d0","url":"https://ka.wikipedia.org/wiki/%E1%83%93%E1%83%98%E1%83%A1%E1%83%9E%E1%83%94%E1%83%A0%E1%83%A1%E1%83%98%E1%83%90","sameAs":"http://www.wikidata.org/entity/Q175199","mainEntity":"http://www.wikidata.org/entity/Q175199","author":"@type":"Organization","name":"Contributors to Wikimedia projects","publisher":"@type":"Organization","name":"Wikimedia Foundation, Inc.","logo":"@type":"ImageObject","url":"https://www.wikimedia.org/static/images/wmf-hor-googpub.png","datePublished":"2011-06-28T19:48:04Z"(RLQ=window.RLQ||[]).push(function()mw.config.set("wgBackendResponseTime":117,"wgHostname":"mw1253"););
